CHAPITRE m

DE L'iNT^GRilTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PàR LES SÉRIES ET PAR LES INTÉGRALES DÉ- FINIES.

4&5. Ou peut eu général, à la faveur du théorème de Maclauriu, développer une fonction en série ordonnée suivant les puissances entières de la variable indépendante, lorsqu'on a entre la variable indépendante et la fonction une équation différentielle d'un ordre quelconque. En effet, soit

cette équation difTérentielle : on en déduira, par de nou. vdles différentiations, les valeurs de^"+*^,^"+*^, et en général celles des dérivées d'un ordre quelconque supérieur à 72, en fonction de x^y^y\y'\. , . .^'^'^. D'un autre côté, la formule de Maclaurin donne

^•^^ i.2.i...{n-iy'^'' i.2.i...n^'^'' i.a.3...(n+i) -f etc. ,

/o>/'o, etc., représentant les valeurs de^, /, etc., pour ^t=o. Si donc l'on fait x=Oyy=.jr^yy-=zy\^ etc., dans les expressions de /^"^J^^""*"'^, etc., déduites de l'équation différentielle proposée et de ses dérivées successives, on déterminera tous les coefficients de la série qui précède, €0 fonction des ti premiers coefficients ^oïJk'oi- • -^o^"""'^- T. II. 17

Ceux-ci resteront arbitraires et donneront à l'expression de y toute la généralité qu'elle comporte. Une telle série peut servir à calculer les valeurs numériques de y pour toutes les valeurs de x qui rendent la série convergente.

Prenons pour exemple l'équation /'= — -(/-(-.r^) : le calcul indiqué donnera

y — y à ïo 7 +/o -— /o

L'équation proposée est de celles qui peuvent s'intégrer en termes finis; par conséquent la série précédente est de celles qui peuvent être sommées ; et en effet, l'on met l'expression de^ sous la forme

• <-f -*"rî-7^3)=^^-^>-'^«('-^)-^^=

et cette valeur de j- se confond avec celle que donne l'équation (4) du n^ 44^9 quand on remplace la constante arbitraire jTo — 6 par la constante C, pareillement arbitraire.

Considérons encore l'équation

y'=-xy: . (i)

on aura pour le développement en série

466. Si la valeur x=:o rendait infinis les coefficients différentiels, à partir d'un ordre quelconque, il faudrait

tHTEGRATlON PAR LES SÉRIES. 259

ordonner la série, non plus suivant les puissances dejt', mais suivant les puissances de x — a, a étant une valeur de X qui ne rend point les coefficients différentiels infinis. En conséquence on aurait

/.,/'.,/'«, etc., désignant les valeurs de^,/,y, etc., pour x==a. .

Soit, par exemple,

l'équation proposée : la valeur x=o rendj^'o infini, à moins que ^o ne s'évanouisse. Dès lors, ce cas particulier excepté, la série de Maclaurin ne peut pas être employée sous la forme ordinaire. Si on lui fait subir la transformation indiquée, on trouve

jTa+a^ x — a

y=jr, —

^ ^{^x-aY .(3J.4- g') (x-ar ^ (4)

^désignant une valeur quelconque de x^ autre que zéro.

La différentiation de l'équation proposée donne •=«7"+2y+2.rt=o, d:/ "+3y+2=o, a:7"^+4r'"=ro, etc.; d'où l'on conclut , dans l'hypothèse où l'on aurait à la fois xz=zo,y:=.o, (aucune des fonctions dérivées ne devenant infinie), '

/,=o, /', = -f, /"„=o, ^-=0, etc.

£a conséquence la proposée a pour intégrale parti* culièr^ (correspondant 2 l'hypothèse ^0=0)^7^= — \x'^. En effet , l'on a trouve [44©] pour l'intégrale en termes finis

et cette valeur de jr, qui ne peut se développer suivant les puissances de x, tant que la constante C n'est pas nulle, reproduit la série (4) lorsqu'on la développe suivant les puissances entières de x — a, pourvu qu'on pose, ainsi que cela est permis, (j^=aj-a'\'i^^ - 467. Soit encore l'équation

Y y= — --' ou xf -^yzi^o. (5)

La valeur x==o rend^'^o infini, à moins que^^ ne s'évanouisse* C'est donc le cas d'employer la série (3), qui devient

r^^Ja+fa ^-^^ ^ -f-*^^— •^— ^ + etc., 6)

^*^*^ I ai. 2 a" i.a.3

et qui dépend des deux constantes arbitrifires^.,^,.

Les dérivées successives de l'équation proposée sont

^7'"+r"— / = «> -^7"+ 2/"+/"= o, ^7^+37^^ + /"=: o, etc.,-

ce qui donne, dans l'hypothèse où ja valeur oc=q annulerait^ et ne rendrait infinie aucune des dérivées/,/'.', /",etc., .

7 o— 7o, 7 0=^^' 7.— 1.2,3' «te-' et par suite

/ / I •^' la:' I x^ , , ,

yz=.y\{x 1 5 T ^r-2 4-etc). (7)

Mais comme ce développement ne dépend que de la constante arbitraire/'^,, il ne représente qu'une intégrale particulière de l'équation préposée, laquelle intégrale correspond à l'hypothèse /o=^.

Représentons par y^ la fonction de x que détermine la série toujours convergente

X + 5 ^—5 5 5— r + etc. :

on peut exprimer Tintégrale générale de Téquation

(5), qui est linéaire, par^=C,^, , pourvu que Ton

considère C,, non plus comme une constante, mais

comme une fonction de x^ qu'il faut déterminer en

appliquant le procédé du n"" 4^4* On obtient ainsi Té-

quatioD

nu , ^^ j I ^C', 2 rfr,

^.C". + .C'./.=o, ou ^.L + .^ = o,

doii, par deux intégrations successives,

c^^c^ désignant deux constantes arbitraires. Ainsi l'intégrale générale de réquation (5) a pour expression, outre la série (6),

r=rx^c, /— +c,j, oubien j^^jY / — 4-c, j-

468. La fonction déterminée par une équation différentielle peut souvent se développer en série procédant suivant les puissances négatives ou fractionnaires de la variable indépendante. Quand de tels développements sont possibles, on les obtient par la méthode des coefficients indéterminés, dont l'usage est presque toujours préférable à l'emploi direct de la série de Maclaurin , lors même que le développement est susceptible de procéder suivaht les puissances entières et positives de la variable indépendante, ainsi que le montrera l'exemple suivant.

Prenons l'équation

qui comprend comme cas particuliers les équations (i)

et (5) : il s'agit de savoir si l'on peut en représenter Imtégrale par la série

7 = Aa:«H-A,j:«'+A.a:«-+A9«3-^etc., en déterminant convenablement les coefficients A/ et les exposants a, qui peuvent être positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires.

La substitutiou de cette vaienr de j dans l'équation proposée donne

Aa(a-i)j?«-»4-A,a.(a,-i)jr«i-='+A,a^(a,^i)2:*»-*+etc. =*Aj:*+^ -h >!:A„a:««+" + k^ ,^>+«4, etc. On ne peut rendre cette équation identique qu*en posant

. a,==a + i(7i + 2), A/a,(a/ — i)=A'A,-,, au moyen de quoi tous les exposants a, sont numériquement déterminés, et tous les coefficients A, s expriment en fonction de A, qui tient lieu de copstante arbitraire. ^

On satisfait à l'équation (9) de deux manières, en prenant oL=o et a=i. Aces deux solutions correspondent deux séries distinctes, chacune renfermant un coefficient arbitraire , et qui toutes deux vérifient l'équation (8) dont elles sont des intégrales particulières. La somme des deux séries donne donc l'intégrale générale [4^^]^ et si l'on désigne par Co,Ci les valeurs du coefficient A qui correspondent respectivement à aT=o, a=J , on trouve sans difficulté, pour l'expression en série de l'intégrale complète.

HTTlêGHA-TION PAR LKS SÉHIES. 263

Toutes ies fois que Texposant n est un nombre entier positifj cette série procède suivant lés puissances entières et positives de x^ et coïncide nécessairement avec celle que l'on déduirait de la formule de Mackurin. Go et C„ représentent alors ^o et ^'o. Si l'on fait en particulier fc=— I, n=L\^ on retombe sur la série (a); et cette dernière manière de l'obtenir a l'avantage de mettre en évidence la loi de formation des coefficients suc-

Lorsqu'il reste moins de coefficients indéterminés dans la série qu'il n'y a d'unités dans l'exposant de l'ordre de l'équation différentielle, la série ne représente qu'une intégrale particulière : c'est la preuve qu'on ne peut développer la fonction suivant une série de cette forme^ qu'en assujettissant implicitement les constantes arbitraires à des conditions qui en réduisent le nombre et qui restreignent la généralité de l'équation différentielle proposée.

Si, par exemple, on supposait dans l'équation (8) k=i — i,/i=: — I, ce qui la ferait coïncider avec l'équation (5), les différents termes de la série qui multiplie Co deviendraient infinis à partir du second : ainsi cette série doit être supprimée, comme cessant de représenter une intégrale ^particulière de l'équation (8); bien entendu que la série qui multiplie G, coïncide alors avec celle qui multiplie jr'o dans l'équation (7).

469. Gonformément à la remarque du n** 46 1 , l'équation (8) s'abaisse au premier ordre, mais en cessant d'être linéaire, si l'on faitjr=^'^'*'*, ce qui donne pour la transformée en z

dz ,

dx

Réciproquement, étant donnée l'équation du premier ordre

/ + «7*=*^i (lo)

(qui porte le nom de Riccatij et qui a été l'objet de beaucoup de recherches), on en ramènera l'intégration à celle de l'équation (8), qui est plus simple à cause de la forme binomiale et linéaire, en posant

I du .

■^ au' dx'^

d'où, pour la transformée en m,

rf"a

équation identique avec (8), lorsqu'on remplace u par/^ et ab par k.

On ramène encore l'équation (8) à la forme

/'-*-î/=Ar, (")

en changeant de variable indépendante et en posant

=^; car on trouve ainsi

dy n idy kjr

dr n-^3tdt fn \«' ^

et pour faire coïncider les équations (ii) et (12), il suffit de changer / en a: et de prendre

Enfin l'équation

rentre encore dans les équations (8j, (10) et (11), puisqu'il suffit de faire^y:=j;"M, pour la changer en

INTÉGRATIOir PAR LES SlSRIES. 265

d*u ^mdu ,

âtr* x dx Les équations (i i) et (i3) se présentent dans des problèmes de physique mathématique, et sous ce rapport elles offrent plus d'intérêt que les équations (8) et (lo) dont elles sont des transfomnées.

470. Si nous nous étions proposé d'appliquer dh*ectement à l'équation (i3) la méthode suivie pour le dé-* veloppement en série de l'intégrale de l'équation (8), nous aurions eu à rendre identique l'équation

A[a(a — i) — m{m — i)]jc*~* -h A,[a,(a,— i) — m{m — i)]j:*«~* + Aa[a;(a,— i) — /»(/»— i)]a;*»-*+ etc.

= hkx* -h hk^x^^ + AAjO:"» -h «te. ; ce qui entraîne les conditions

a,= a+2«, A,{a,-(o{,- — i) — m{m — i)] = AA,x.

La troisième formule devient, quand on remplace a. par sa valeur tirée de la seconde^

A,[a(a — i)-f- 21(21 + 2a — i) — m(/»— i)] = AA,,, ou plus simplement, en vertu de la première condition,

2i(2i4- 2a — i)A,-=AA,«,. (i5)

LesrSicines de l'équation (i4) sont a=/w, a=i — m: 00 trouve en conséquence pour la valeur de l'intégrale complète, exprimée en séries,

* "■ 2(2»i+i) 2.4.(2/n+i)(aw+3) •'

+ C,a:'-"[i ^ — 75 ^H --75 TT^ r+etc.].

' ^ 2(3 — 2/re) 2. 4. ('3 — 2»i)(5 — 2/w) ^

* 471. Les séries que l'on vient d'obtenir ont cela de

remarquable qu'elles peuvent être sommées et remplacées

266 LIVRE yi! — chapitre m.

par des intégrales définies de }a nature de celles que

nous avons considérées dans les trois derniers chapitres

du livre précédent. Effectivement, quand on fait dans la

formule (v) du n® 3o9, j;=co, |i, = 2ot — i,v=:2i, il

vient

^ . , cos*' cd sin*» w

/ cos*' co sm*«" ' iùdtù = — :

^ ai + 2a — I

-ycos"-' cd^in **-' corffc);

ll-i-^OL — I '

et si l'on prend o, tt pour limites des intégrales, le terme hors du signey s'évanouit toutes les fois que a est une quantité réelle positive , ou une quantité imaginaire à partie réelle positive, en sorte qu'on a

cos** ci> sin**"" ' coâfo)

1 cos*"~*û)sin**~'a>rfa). (i6)

21 + 2» — ijo

En vertu de cette dernière relation, l'équation (i5) se trouve satisfaite, si l'on pose

A| = = y^-, r— . I cos*' co sm*»""* iùdiù :