ai — i)a«^o

et par suite on peut mettre l'intégrale obtenue sous la forme

r=C„j:" / ( I -\ — — cos*coH s-7cos*co+etc.)sin*'"- Ww

•+-C,^'-"/ (iH cos'wH 5-jCos*w+etc.)sin»-**CfMAi),

en attribuant successivement à aies valeurs m et i — /w,

qui sont les racines de l'équation (t4)-

Maintenant on a

I H cos* (ù H 5— cos* (ù H ô-rvT. cos' « -f- etc.

= cos ( i/zn . xi/k . cos (.))= i d**^* *=" • + i e-'^* ■ *=*** • ;

donc

Cette expression peut encore se simplifier; car on a, à cause du choix des limites et de la nature des fonctions sin iùy cos (ùy

-hC^oî'-'"/* «'^*'^«»-sin'-»'»wrf«. (17)

L'équation (16) ne subsiste que sous la condition que a désigne une quantité réelle positive, ou une quantité imaginaire à partie réelle positive. Donc, pour ne considérer que le cas de la réalité des valeurs, l'équation (17) ne subsiste que sous la condition que m et 1 — m dési* goent des nombres positifs, ou que la quantité m tombe entre les limites o, 1 . Moyennant cette restriction, l'équation (17) donnera l'intégrale complète de l'équation (i 3), exprimée par des intégrales définies.

Aux limites /w=:o,/w=i, l'équation (iS) se réduit à f'zizhy^ et l'on sait que dans ce cas elle a pour intégrale complète

Quand on fait dans la formule (17) /n = 7, elle donne

/ = (C, + COw"irV^**^«*«rftà; et comme les. deux constantes arbitraires Co,G, se con-

268 LIVRE VI. GHilPITR^E III.

fondent en une seule, on n'a plus qu'une intégrale particulière. Cependant, même dans ce cas, on obtient l'intégrale complète par un artifice de calcul déjà employé [460]. Faisons dans le terme qui multiplie Co,/72=^7 et dans celui qui multiplie C„ /n=:-J-|-e; il viendra

+ C,»/iy ^^•««••(^ sin* co)-'rfw. (18) Or on a

""' = ^ — 7 log a + — (log uf — j-^ (log uf 4- etc.;

de sorte que si l'on développe l'expression (18) suivant les puissances de e, et qu'on pose C^-|-C,=A, C,c= — B, il viendra

-l-Bv/i r^^^* ^*»» - log {x sin' co)rfa) + eBX,

X désignant une quantité qui conserve une valeur finie quand e s'évanouit. Donc, si l'on pose maintenant e=o, on aura

+ Bv^xje''^^' «>• -log(a: sin' w>fc>,

pour l'intégrale complète de l'équation (i3)qui devient dans ce cas

* 472. Si m a une valeur positive plus grande que l'unité, le terme affecté du coefficient C, doit être supprimé dans l'équation (17); et au contraire on ne

INTÉGRATIOJ^r PAR LES SiRIES. 269

doit conserver que ce terme quand m a une valeur négative. Dans l'un et l'autre cas on n'obtient donc impiédiatement, sous forme finie, qu'une intégrale particulière de l'équation (i 3). SoitjK, cette intégrale particulière dans laquelle on aura fait, pour plus de simplicité, la constante arbitraire égale à l'unité : on trouvera, par un calcul semblable à celui du u° 4^7, que l'intégrale générale est

Si l'on pose cos (i>=J^, on mettra l'équation (l'y) sous la forme

I équation (i3) aura pour intégrales particulières, dans le cas de w > i,

et dans le cas de /w < o,

II est clair, d'après le n® 3i3, que quand m désigne un nombre entier positif, l'intégration définie indiquée d^ns la formule (20) s'effectue, et qu'il en est de même de l'intégration indiquée dans la formule (2 1), lorsque m désigne un nombre entier négatif. Donc, toutes lea fois que m désigne un nombre entier, positif ou négatif, on a sous forme finie, et dégagée du signe /i une intégrale particulière de l'équation (i3); et d'après la formule {19), la détermination de l'intégrale générale de cette même équation se trouve ramenée aux quadratures.

* 473. Rappelons maintenant que Téquation de

Riccati

y + a7* = i:p" (lo)

se change lorsque l'on pose

I du au ^' en

(Pu

r= -j-. ab-—k^

équation qui devient à son tour

cPm 2/» du ,

et enfin quand on pose

Soit /w=T:±i!V« désignant un nombre entier positif: on tirera de la seconde des équations précédentes

n=-=JL. (.3)

L'intégrale générale de l'équation (22) se ramène aux quadratures, toutes les fois que m est un nombre entier positif : donc l'intégrale générale de l'équation de Riccati est aussi ramenée aux quadratures, pour toutes les valeurs de n comprises dans la formule (a3); ce qu'on trouverait également en cherchant dans quels cas l'équation de Riccati se prête à la séparation des variables.