Soit

une équation différentielle du premier ordre, dont on a Tintégrale complète sous la forme

F(Xyjr,a)=o, * (a)

a désignant la constante arbitraire introduite par l'intégration : d'après ce qu'on a déjà vu [liv. IV, chap. II], l'équation

résultant de l'élimination de a entre l'intégrale (a) et l'uoe des équations

rfF rfF , ,.

satisfait encore à l'équation (/*) dont elle est une intégrale singulière; à moins qu'elle ne se confonde avec une intégrale particulière, la valeur de a tirée de l'une des équations (af) se réduisant à une constante, ou à une fonction de ûo^j- qui elle-même se réduit. à une constante en vertu de l'équation (f). On sait de plus, que l'équation (?) appartient à une ligne qui touche ou enveloppe toutes les lignes dont le système est représenté par l'in-

tégrale générale (a), tant que le paramètre a conserve son indétermination.

De là résulte une règle très-simple pour trouver les intégrales singulières d'une équation différentielle du premier ordre, dont on a préalablement déterminé l'intégrale générale : nous disons de plus que ces intégrales singulières peuvent être assignées , sans qu'on ait besoin de connaître l'intégrale générale, et lors même qu'il y aurait impossibilité d'assigner à l'intégrale générale une expression analytique sous forme finie, cequi est le cas le plus ordinaire.

Effectivement la ligne enveloppe qui représente, l'intégrale singulière, ne peut exister que lorsqu'il y a intersection entre les lignes qui représentent des intégrales particulières, et qui répondent à des valeurs distinctes de la constante arbitraire. Donc, pour les valeurs de jj,/ relatives à ces points d'intersection , la valeur de/ en j;,jr, tirée de l'équation ( /*), doit être multiple; c'est-àdire que celte équation, supposée algébrique, doit être . du second degré ou d'un degré supérieur par rapport à y, après qu'on en a fait disparaître les radicaux.

Il suit de là qu'en général tous les points correspondant à des valeurs de x^jr qui ne rendent pas y imaginaire, sont les points d'intersection de deux lignes au moins, prises parmi celles qui représentent des intégrales particulières.

Mais, pour les points situés sur l'enveloppe ou sur la ligne de contact de toutes ces courbes, il n'y a plus d'intersection, ou du moins une intersection disparaît : donc il faut que l'équation (/' ), oh l'on considère y connne l'inconnue, acquière alors des racines multiples, ce qui entraine la' condition

Donc réciproquement l'équation ( /') détermine la relation entre x ^X, y qui caractérise la ligne de contact ou l'intégrale singulière.

Prenons pour exemple l'équation difTérentielle

qui a pour intégrale générale

X* — 2aj=r*H-a*, (a)

a désignant la constante arbitraire.

La première équation {a) donne dans ce cas a= — -j^ et cette valeur de a, substituée dans l'équation (2), donne pour intégrale singulière x'^Aç-j^ — r^=.o. Or, sans qu'on ait besoin de connaître l'intégrale (a), l'équation (/') fournit la relation

et cette valeur de^', substituée dans l'équation (i), reproduit l'intégrale singulière déduite en premier lieu de l'intégrale générale.

475. Le 'Succès de cette méthode tient à ce que Téquation différentielle est préparée de manière à ne pas contenir de radicaux. Si au contraire elle était résolue par rapport à^', ou mise sous la forme ^=£(.2:^), la méthode se trouverait en défaut. Mais il faut remarquer que lorsqu'on différentie l'équation (/) par rapport à / et par rapport à j;, en y considérant y' comme une fonction des variables x^jr^ déterminée implicitement par cette équation, on a

ày dy'dy dx dx* dy'

Or, la valeur de ^ en j; qui appartient à l'intégrale sin-

giilière, fait évanouir^: donc la même valeur doit

dr^ dv' rendre infinis les coefficients différentiels-^, ^, après

qu'on y a substitué pourj sa valeur en x^jy tirée de l'équation (/*). Par conséquent, si l'on peut déduire des équations

dK^^X) di{x,y)

une valeur de ^ en x qui satisfasse aussi à l'équation ( f), cette valeur reproduira l'intégrale singulière.

Par exemple, l'équation (i), résolue par rapporta/, donne

d'oii

df{x,y)____x__ . V^x'+y-r'±x dy X* — r* i/j;i+j..r' '

rf<(a;,y)— (^+r'}r»/x'+j-'-r':F'(j:'+/'— r'jiyjy.

et ces valeurs deviennent infinies quand on pose

^««L V* r*=o, ce qui satisfait à l'équation (i) dont on

obtient ainsi l'intégrale singulière.

476. Quand on différentie l'équation (/), en y traitant r, / comme des fonctions implicites de x , il vient

dx^ dy^^dy'^ -""' ^^ ^

d'où

^ - \dx^ dy^ J'd/ ^^

Mais la valeur de j en x qui donne l'intégrale sin-

gulière, annule^, et réduit l'équation (/") à

doue cette même valeur de jk en ^ met sous la forme \ la valenf

donnée par l'équation {c) ; ce qui fournit encore un autre procédé pour trouver l'intégrale singulière. En effet, Ton posera

puis on éliminera successivement^' entre chacune de ces deux équations et la proposée (y). Si les deux équations résultantes ont un facteur commun, ce facteur donnera l'intégrale singulière cherchée.

En opérant de cette manière sur l'équation (i), on trouve

7'(a:' — r") — xy L'élimination dejr' entre la proposée et chacune des équations

jj^+a: = o, y{x* — r') — ^j==o, donne pour résultantes où le facteur commun est en évidence,

* 477. Il est essentiel de remarquer que la considération géométrique sur laquelle on s'est fondé dans les trois n*^ qui précèdent, s'applique à toutes les lignes de contact des courbes données par l'intégrale générale, aussi bien à celles qui pourraient exceptionnellement représenter des intégrales particulières qu'à celles qui

représentent des intégrales singulières. Ainsi, après qu'on aurait cherché les intégrales singulières par l'un des procédés indiqués ci-dessus, il faudrait en outre s'arssurer qu'on ne peut pas les faire rentrer dans l'intégrale générale, en particularisant convenablement la constante: vérification impossible, tant que l'intégrale générale n'est pas donnée. L^ caractère distinctif des intégrales singulières doit donc se tirer de considérations analytiques, et pour cela il faut reprendre la question sous un nouveau point de vue.

Considérons une équation différentielle du premier ordre, mise sous la forme

/— f(ar,/) = o, (rf)

à laquelle satisfait l'équation ^=X, X désignant une certaine fonction de x, sans constante arbitraire, de sorte qu'on ait identiquement

Pour que l'équation ^^'t^rX coïncide avec une intégrale particulière, il faut que l'intégrale générale puisse être mise sous la forme

7=X + «^ (js)

t désignant la constante arbitraire, et 9 une fonction de X et de e, qui ne s'évanouit ni ne devient infinie pour v=o. On aura en même temps

f(:r,jr)=f(:r,X) + (e9)*.t*, W

k désignant l'exposant de la plus haute puissance de e qui soit facteur de

f(^,X+e9)-f(^,X), et tj indiquant une fonction de x et de 69, qui ne devient point nulle ou infinie pour 6=0. Posons

DES lÊQUATIONS INTEGllALES SINGULIÈRES. 277 ? = ?o +«*'9i +«^»<p. + etc.,

en désignant par % xii des fonctions de a:, et par a,-^^, des exposants positifs formant une série croissante: puisque la fonction f est donnée, on connaîtra le développement de f(^,X-|-6(p) suivant les puissances de ef ; et par conséquent les fonctions vii , ainsi que les nombres Pi, sont censés connus : il s'agit de déterminer les fonctions (fi et les exposants a, de manière à satisfaire à l'équation (h) indépendamment de e.

Or, la substitution donne, après qu'on a supprimé les termes qui se détruisent en vertu de l'équation (e),

•è + («. + 0-^ + («. + >)«-% + etc. j

= e*(Ço + «"9. + e"*9. + etc.)*ti. | ^*^

+ •*+P^(9o •+• «"*?, + «••?. + etc.)M-PxxJ, + etc. ) Supposons X-=i : on aura, pour déterminer %j l'é- ^tion

-^=9oXi. , doù (f^zzzef^oJ*-^ il faudra poser ensuite

et en continuant ainsi, on déterminera de proche en proche toutes les quantités qui entrent dans le développement de 9, c'est-à-dire qu'on développera l'intégrale générale en série ordonnée suivant les puissances de 8.

Soit X: > I : on ne pourra rendre l'équation (a) identique qu'en posant d'abord

-^==0, ou (f^=zconst.

Prenons, pour plus de simplicité, cette constante égale à l'unité : on fera ensuite

«,==*, (a, -+.i)^=trfo, d'où <p,==— L--/^^^;

et en prolongeant le même calcul, on obtiendra encore successivement tous les termes du développement de l'intégrale générale.

Mais si l'on a au contraire X'< i, il sera impossible de rendre l'équation (a) identique : par conséquent la solution j^'tznX ne pourra pas résulter de l'intégrale générale moyennant la particularisation d'une constante arbitraire; ce sera donc une intégrale singulière de la proposée.

Or, d'après ce qu'on a vu sur les cas de défaut de la série de Taylor [106], la valeur X, pour laquelle l'exposant A est < i, rend infinie la dérivée

dr djr'

dr' donc l'équation -f- =:zfc 00 est le véritable critérium des dy

intégrales singulières, et les renferme toutes comme facteurSy à l'exception de celles qui seraient de la forme x:=iconsLy et qu'on obtiendra en traitant dans la proposée la variable^ comme indépendante.

Par conséquent, en nous reportant aux équations (é),

si les valeurs Aejr en x qui font évanouir -^^ conser*

vent aux dérivées -^, -*^ des valeurs finies, ces valeurs dy^ ax

appartiendront à des intégrales singulières de (/); mais si elles annulent ces mêmes dérivées, il faudra chercher par les procédés ordinaires les valeurs des seconds membres des équations (é), qui se présentent alors

DES ISqUATIOWS intégrales SINGULIÈRES. 279

SOUS forme indéterminée. Quand ces. valeurs seront infinies, les solutions qu'il s'agit d'éprouver constitueront encore des intégrales singulières; sinon, elles rentreront dans la catégorie des intégrales particulières, et néanmoins continueront de représenter des lignes enve^

La démonstration que nous venons de donner, d'après M. Poisson, n'est pas exempte des difficultés attachées à l'emploi des séries qui peuvent devenir divergentes : nous aurons encore à revenir sur ce sujet , en parlant de la construction des équations différentielles.

* 478. Par les équations (rf), (^), (^), (A), on a

fc^^=%,j)-f(^,X)=(e<p)*tS=(r-X)*ïJ;

et si l'oa change de variables en posant^ — X=:«, cette

équation devient

du

1^ désignant alors une fonction des variables x,m, qui uacquiert pas une valeur nulle ou infinie pour w=o. Nous pouvons encore changer de variables et prendre à celte fin w'~*=:v, ce qui mettra Féquation différentielle sous la forme k

Pour A" < I , cette dernière équation se décompose d'ellemême en deux autres

La première, qui équivaut à j- — X;==o, donne l'intégrale singulière; la seconde au contraire ne peut plus

être satisfaite par cette intégrale singulière^ puisque xij est une fonction qui ne s'évanouit pas avec v.

Donc, lorsqu'une équation différentielle du premier ordre comporte une intégrale singulière, on peut par uq changement dé variables la transformer en uneautre^où l'intégrale singulière apparaît comme facteur commun; de sorte qu'après la suppression de ce facteur la transformée n'a plus d'intégrale singulière , et représente, dans un système de coordonnées rectangulaires, une série de lignes qui n'ont pas d'enveloppe.

* 479. Appliquons ceci à l'équation

y» — 4rr' + 4r=o, ou / = a(jr±i/in7), (3) dont l'intégrale générale est

et qui représente en conséquence un système de droites ayant pour ligne de contact la parabole ûc'^ — f=o* Faisons or* ^^=w = i;* : l'équation (3) deviendra

du ^ rdv , \

^=zF.v/., ou \j;^±^)-o.

Après la suppression du facteur Vy il restera l'équation

— ± h=o, qui a pour intégrale générale

et qui, lorsqu'on prend x pour abscisse, et v pour ordonnée rectangulaire, représente un système de droites parallèles, n'ayant point par conséquent de ligne de contact. D'ailleurs, si l'on substituait pour j sa valeur en V et x dans l'équation (4), on retomberait sur l'équation (5). .

L'application de cette méthode à l'équation (i) ne serait pas exempte de quelques difficultés, dans le cas où

1 OU voudrait conserver x comme variable indépendante. Mais si Ton met cette équation sous la forme

et si Ton chasse ensuite x'^ et xdx au moyen des équations auxiliaires

x^-i-y* — r*:=:zu*y xdx+j-djrt^udu^ elle prendra la forme très-simple u(du:jpdy)===o; de sorte qu'après la suppression du facteur u^ elle ne comportera plas d'intégrale singulière.

* 480. Inversement, on peut transformer une équation différentielle qui n'admet pas d'intégrale singulière, de manière qu'après la transformation elle admette pour intégrale singulière une équation donnée. Soit, par

exemple, l'équation trouvée ci-dessus -j-±i=o, dans

ax

laquelle il s'agit de substituer pour v une fcmction de x et d'une nouvelle variable z, telle qu'après la substitution^ l'équation résultante admette pour intégrale singulière l'équation linéaire

z — mx:=:o, (6)

On multipliera la proposée par (z--^/wj;)*, k désignant un nombre compris entre zéro et l'unité, ce qui la changera en

(z — mxydç ± (z — mxfdx = o. (7)

Cela fait, déterminons la variable z, qui doit être fonction de V et de x^ de manière qu'on ait

il viendra par l'intégration

I — k X désignant une fonction arbitraire de j;; et par

suite

dz — mdx=^{z — mx^^dv + rfX).

Tirons de là la valeur de dv et substituons-la dans Véquation (7) : celle-ci deviendra

dz — ^ mdx — {z — ma:Y(cni zç: dx) = o ; et il est visible que Téquation (6) y satisfera comme intégrale singulière.

*481. Nous avons vu [448] que l'équation du premier ordre

étant soumise à une seconde différentiation, donne Téquation du second ordre

qui se décompose immédiatement en deux facteurs, dont l'un fournit l'intégrale générale, et l'autre l'intégrale singulière de la proposée. Il faut généraliser ce fait de calcul , et montrer que loi*squ'une équation du premier ordre admet une intégrale singulière, on peut toujours la mettre sous une forme telle que sa dérivée se décompose en deux facteurs, dont l'un donne l'intégrale singulière, par l'élimination de ^' avec la proposée, tandis que l'autre, qui est' annulé par la valeur de^ en x tirée de l'intégrale générale, ne l'est plus par la valeur tirée de l'intégrale singulière.

L'équation

dF d¥ , . ,.

étant résolue par rapport à a donnera

a^Vi{x,y,yy, * . (i)

et si l'on substitue cette valeur de a dans l'équation (â), l'équation résultante

F(j;,7,trf)=o U)

équivaudra à Téquation (y ), en ce sens que, si elles ne

se coiifondeat pas, ou passera de Tune à Tautre en multipliant le premier membre de la première par une fonction convenablement choisie des variables x^y^f. Or, en difierentiant l'équation (y), Ton a

^"^^•^ '^dvi\d^'^df^ '^d/^ )—'"' et (le plus la somme des deux premiers termes est identiquement nulle, puisqu'on a substitué pour a^ dans la fonction F, sa valeur tirée de l'équation («',) : donc la dérivée de l'équation (y ) se réduit à

dF/dri dxi , d^ ,\

dxi\dx '*" d^^ '^^'^ y ~ ""*

et se décompose en deux facteurs

dxi dxi . dxi jf ...

L'équation (y,), qui est du second ordre, a évidemment pour intégrale du premier ordre l'équation (y); et l'élimination de /' entre les équations (/) et (y ) aura lieu si- Ton élimine xi entre les mêmes équations, ou si l'on remplace xi par a dans l'équation (y), c'est-à-dire que cette élimination donnera l'intégrale générale de la pro-

De même réiîmination dey' entre les équations (;) et (/,) s'opérera par l'élimination de xi entre les mêmes équations, ou par l'élimination de a entre l'équation {a) et sa dérivée par rapport à a : elle conduira donc à l'intégrale singulière de la proposée, ou du moins à Téquation d'une ligne de contact des courbes qui en représentent les intégrales particulières.

On voit aussi par ce calcul que la valeur de y en x

tirée de l'intégrale singulière, laquelle donne pour j^ une valeur qui vérifie la proposée, ne donne pas pour/'' une valeur propre à vérifier l'équation (y,), ni par conséquent pour y*\y^9 etc., des valeurs propres à vérifier le3 dérivées successives de la proposée.

Appliquons cette analyse à l'équation (a) : on aura

dF dF ,

d'où

trf = £, F(ar,^,trf)=:r>-^îl-r» = o, (8)

équation qui se confondrait avec (i) par Texpulsion du dénominateur /^. I^a diffërentiation de l'équation (8) donne