En effet, l'on a en intégrant par parties

a;»'-' (a -f- bxydx= / ,/ —

■^;l^~' ( x^-^Ca + bxy-^'dx,

et d'autre part,

fs^-^a-^hxy-^^dxirzafcUfT^a -^-bxydx-i' b/a^-^{a + bxydx. Ces deux équations combinées donnent

— a((x — i)faff-\a^ bxydx]. (/)

£n conséquence, si la constante p. est positive, on ramènera l'intégrale {k) à dépendre de l'intégrale

fa^-^{a+bxydx^ (*J

dans laquelle l'exposant de x, en dehors des parenthèses, est diminué de l'unité, l'exposant de la parenthèse restant le même. Si au contraire la constante (jl est négative ,

on fera dépendre rintégrale (Jc^) de l'iatégrale (k), où la valeur numérique de l'exposant de x, hors des parenthèses, se trouve diminuée de Tunité. On peut répéter Tune ou l'autre opération autant de fois qu'il est nécessaire pour ramener l'intégrale (A) à dépendre d'une autre intégrale de même forme, où la valeur de la constante (iL tombe entre zéro et i .

Une réduction semblable est applicable à l'exposant

V ; car on a fa^-\a'\'bxydxz=^afaif^-\a-^bxy-^dx+bJfS(î^^

la formule (/) donne, quand on y change [x en [^-^^ ^

V en V — I,

et de ces deux dernières équations combinées, l'on tire

Enfin l'on réduirait de même les exposants [x., v dans l'intégrale

J{g + ^y (^ + bxydx.