CONSTRUCTION DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

sible que celte fonction, partant d'une valeur Initiale donnée, ait à la même époque, ou pour la même valeur de j;, deux valeurs différentes.

Cette difficulté sera levée à Paide des considérations suivantes :

Désignons par w=o l'équation de la courbe enveloppe, u étant une fonction de a:, ^, au moyen de laquelle nous pourrons chasser^ et dy de l'équation différentielle proposée. Il faut que cette équation prenne la forme

duz=Z(^u . \ [Uy x) dx ^

ffu étant une fonction de u qui s'évanouit avec £/, et dont la dérivée ^^u devient infinie pour {^=o, du moins lorsque la fonction if (u^ x) ne devient point elle-même infinie ou indéterminée. Car, de cette manière, lorsque la fonction Uy après avoir eu à l'origine une valeur différente de zéro, vient à s'évanouir, ce qui arrive au point de contact de l'enveloppée et de Fenveloppe, la tangente de l'enveloppée est déterminée par l'équation du =o, et se confond avec celle de l'enveloppe , comme cela doit être.

Il en résulte [5i 5] que la fonction m, ayant une fois atteint la valeur zéro, conserve indéfiniment cette valeur pour des valeurs croissantes du temps ou de la variable X : de sorte que la fonction y, représentée dans une première partie de son cours par l'ordonnée de l'enveloppée, est représentée ultérieurement par l'ordonnée de l'enveloppe.

Pour appliquer ceci à notre exemple, si l'on pose

u=p{p—^y) — j:\ les équations {a,)j(oi^) deviendront

, .- 2 i/S -h I , . a ï/tt — I {lu = \/u . , duziz Vu . •

520. Nous retombons de cette manière sur la théorie des intégrales singulières exposée dans le chapitre IV du présent livre. On voit pourquoi nous leur avons conservé le nom ^intégrales que quelques auteurs leur refusent à tort : c'est qu'en eflfet, quand le temps joue explicitement ou implicitement le rôle de variable indépendante , le problème de l'intégration proprement dite, qui consiste à assigner la somme des accroissements infiniment petits de la fonction dans un intervalle de temps donné , est résolu successivement au moyen d'une intégrale particulière et au moyen de l'intégrale singulière; de sorte que la solution n'est complète que quand on joint l'intégrale singulière au système des intégrales particulières ou à l'intégrale générale.

Cette propriété de l'intégrale singulière lui appartient en raison de ce qu'elle représente la ligne enveloppe de toutes les lignes données par les intégrales particulières. £n conséquence , lors même que l'équation de la ligne enveloppe pourrait se tirer de l'intégrale générale par une détermination convenable de la constante arbitraire (auquel cas elle ne serait plus une intégrale singulière dans le sens purement abstrait que les analystes sont convenus d'attacher à cette expression ), elle n'en mériterait pas moins la qualification d'intégrale singulière , en ce sens qu'il faudrait la joindre à chacune des autres intégrales particulières , pour compléter la solution du problème d'intégration, lorsque la variable indépendante est le temps ou une quantité croissant avec le temps.

Par exemple, l'équation différentielle

CONSTRUCTIOir DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 347

a pour intégrale générale Téquation

7^ + 07' — aûjizzo ,

([ui représente une infinité de cercles ayant leurs centres sur l'axe des^, et touchant tous Taxe des x à l'origine (les coordonnées. L'équation ^=o , qui satisfait à la proposée, n'est qu'une intégrale particulière, en ce sens qu'elle se tire de l'intégrale générale quand on y fait a = co : mais , si la variable x' représente le temps, et que , pour une valeur négative de x on donne à /• une valeur positive , assujettie seulement à la condition d'être numériquement plus petite que œ , la fonction j s'annulera en même temps que a:,et restera ensuite constamment nulle pour toutes les valeurs positives de .X. Il faut donc associer l'équation j^=:o à chacune des autres intégrales particulières, pour en former un système qui, dans chaque cas particulier, résout le problème d'intégration; et, sous ce rapport, réquation/=o est vraiment une intégrale singulière de la proposée. Pour comparer l'équation (d) à l'équation (i), on posera

et la fonction 9jr ne satisfera plus à la condition établie [5i6], pour que la fonction jr, partant d'une, valeur initiale autre que zéro, puisse devenir nulle; mais cela tient à ce que le facteur ^ {^^j) devient infini pour le système de valeurs ,r =0,^=0; et ce cas était exclu dans la démonstration rapportée au n° cité.