Passons aux équations du second ordre: ce que

348 LIVRE Vf. CHAPITRE VII.

nous allons en dire s'appliquera facilement aux équations d'uQ ordre quelconque.

Soit

uoe équation du second ordre, résolue par rapport 2Ljr' : admettons que, pour une valeur x^ de la variable indépendante, on se soit donné arbitrairement les valeurs correspondantes ^o? y©; i' viendra

et si Ton pose x, — ^jJq-^At, àx désignant une quantité très-petite du premier ordre, on aura, aux quantités près du second ordre,

puis

et ainsi de suite; en sorte que la série de valeurs par lesquelles passe cbacune des fonctions y, ^, peut être calculée arithmétiquement avec une approximation indéfinie.

Si l'équation (e) est de la forme

et que y atteigne une valeur -n qui fait évanouir 9^, y s'évanouira, et par suite^ conservera, à partir de cette époque, une valeur constante. La proposée aura pour intégrale première singulière y=/\'; et l'intégrale de celle-ci, ^;':=D'a:-}-c, satisfera à la proposée, mais sans en être l'intégrale générale^ puisqu'elle ne renfermera que la constante arbitraire c.

Si la proposée se met sous la forme /'=cpj.^(a:,j,/)=o, et que^ atteigne une valeur vi qui fait évanouir <p/i j-"