CHAPITRE II

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSOENDANTES.

308. En vertu du principe du a^ 294? si Toa a sous forme finie l'intégrale

/ftdt=Vt+const.^ on aura aussi :

dx

ff{é').efdxz=iV{e') + const.y

//(fàn x) . cos xdx = F(sin x) + const.y

/J{cos a:).sin xdx = — F(cos x) + const.,

dx //(tang ar)' = F(tang x) -4- consL,

dx /f{2C£i^ sin or),. >. =? = F(arc sin x) + const.

Par exemple, il viendra

"^cosxdx , .

-3- =1= arc(tang=8in;r) + c^/ii^

' 1 4- sin or

Lorsque la fonction F ne peut pas s'obtenir sous forme finie, les intégrales précédentes, dans le cas oii la fonction /'est algébrique, sont au moins ramenées à dépendre de l'intégration de la fonction algébrique ^é//:

f désignant toujours une fonction algébrique, on pourra rendre algébriques les fonctions

y(^') . dx , /(sin mx , cos mx) . dx , en posant, pour la première, e**=/, et pour la seconde, sin mx=t, ou cos mx=t.

Ainsi cette substitution donnera :

r dx r dt ./\—t

f dx r dt

i+sino;

rr-f-a I / \ — QO%x\ Li — a i+cosarj

= .arctanff • va | 4- eonst.

I— a' ^ Lï— a i+cosarj

On rendrait encore algébrique la fonction y(sin mx^ co8 mx; sipixnur, cos imx; sin t'/Tta:, cos imx;...)dxj /désignant une fonction algébrique, et /, «*... des nombres entiers; attendu que dans ce cas sin irnXy

cos imxj s'expriment en termes finis, au moyen des

puissances entières desin/wo:, cosrnx [77].

Une fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus peut toujours s'intégrer, après qu'on a changé par les formules connues [78] les puissances de sinus et de cosinus en sinus et cosinus d'arcs multiples, et les produits de sinus et de cosinus d'arcs différents, en simples sinus et cosinus. Par exemple, on a

/sin{mx -\- n) cos{px +p)dx =. - /sin {{m +/?)a:+ n-^-qYx

-4- - /sin [(m — p)x+n — q^Ix

cos\i;ni+p)x+n+q\ cos[{m—p)x+n--^q\ ^ ^^^^ !x{m+p) ii{m—p)