CONSTRUCTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

s'évanouira; mais comme eu même temps ^' a une valeur en général différente de zéro, ^ et^" prendront aussi y dans Tinstant suivant^ des valeurs différentes de zéro. Par conséquent l'équation j=^^ qui est une intégrale singulière de la proposée, sans constante arbitraire, ne représentera point, à aucune époque, la suite des valeurs par lesquelles doit passer la fonction ^, lorsque la variable indépendante x désigne le temps ou une quantité croissant avec le temps, à moins toutefois que^' ne sevanouisse en même temps que ?^.

On pourrait donner plus de généralité' à ces remarques , comme nous l'avons fait pour les équations du premier ordre; mais il sufBt que ce sujet soit indiqué.

522. Considérons encore le système des équations simultanées [5io]

{ûdy+yx^—ita^y =o, xy:^t{xx' — x'y) z=o ; et posons xy — ^*=m, ce qui les changera en

a'*-|-4M = o, 7,t{u+e)x' z=z{e + u't—u)x . Lorsque t^x^y auront atteint des valeurs qui annulent la fonction u^ vl s'évanouira, et par suite la fonction u restera constamment nulle : on aura pour déterminer x l'équation ^tx'=Xy d'où x'^:=aj. Les intégrales générales des équations proposées sont

xyz=:at — -r-^ xt^aj.

Supposons, afin de fixer les idées, a>o : ce système .représentera les valeurs de x^y pour les valeurs de ^< -;

mais, pour ^ > ~ , les valeurs de or,^ seront données par le système

xy — f*=:0 , X^z=za^t ^

qui représente l'intégrale singulière des proposées.