ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES
conditions d*intégrabilitë
dX.dY^ dX^^ dY dZ.
dy dx dz dx dz dy et l'intégrale aurait la forme 'E{x^/,z)^consLf F désignant la fonction dont le membre de l'équation (i) est la difTérentiélle exacte.
Dans tous les cas, en admettant qu'il existe une fonction z de deux variables indépendantes x^y^ propre à satisfaire à l'équation (i), et d'où l'on puisse tirer la valeur de dz sous la forme
dz = pdx -f- qdy , il faut qu'on ait
dp dq .
mais, en vertu de Téquation (i),
d'où
ou
dy \ dy "^ dz dy
dy ^ dz * Z '
^ i<l)XI)..! <IV(l)x.
dx \ dx dz dxj dx dz Z
de sorte que l'équation (a) donne, après les réductions , ^/rfY dZ\ ^fdL d^\^^fd^ dY\
Lorsque cette dernière équation, qui exprime la condition d'inlégrabilité, est satisfaite, l'intégration de l'équation (i) se ramène à celle des équations à deux variables. En effet, si l'on avait l'intégrale , de l'équation (i), et qu'on la différentiât en y traitant z comme une
352 LIVRK VII. — CHAPITRE ï.
constaote, le résultat obteou devrait coïncider avec Téquation (i) après qu'on y a fait dz nul, c'est-à-dire avec Tcquation
X^ + Yrfr = o. (4)
Réciproquement, si l'on désigne par [jl le facteur qui rend ILdx-^-Ydj une différentielle exacte , lorsqu'on y regarde z comme une constante^ et si l'on pose
/ji(Xrfar + Yrfr)=F(j7,7), l'équation (i) aura pour intégrale
Z, désignant une fonction de la seule variable z. Afin de la déterminer, remarquons que l'on a
d¥ , d¥ j dF ^ dZ,, ^dx + -djr + ^^dz=-^^dz,
et d'autre part
d'où
Il faut donc, si Téquation (3) est satisfaite, que les deux variables x^y s'en aillent à la fois du second membre de l'équation (6), quand on chasse l'une d'elles au moyen de l'équation (5j; ou, en d'autres termes, il faut que la dérivée de ce second membre, prise par rapportai', soit nulle, lorsqu'on y considère^ comme une fonction de X et de Z,, donnée par l'équation (5). Ainsi, la condition qu'il s'agit de vérifier, est exprimée par l'équation
dx , dy dx . ^
JÎQUATIOiyS AUX StlFFÉRENTIELLES TOTALES. 353
OU par
en remettant pour -£ sa valeur tirée âe l'équation (4). On a d'ailleurs
iLrdz dz '^ dz dz
dydz dz dz dz
et le facteur |jt. satisfait [444] ^ l'équation de condition
dy dx ^ \dy dx )
Si maintenant on substitue dans l'équation (7) les valeurs de
tirées des trois dernières équations, les quantités
^'^'^ s'en vont^eii même temps, et l'on retombe sur l'équation (3), qui exprime la condition d'intégrabilité.
524. Lorsque cette équation n'est pas satisfaite, il n'existe pas une fonction z de deux variables indépendantes Xyj^ susceptible de vérifier l'équation (i); ce qui revient à dire que cette équation n'exprime plus une propriété dont puissent jouir les coordonnées x^jr^z d'une certaine surface. Cependant l'équation (i) n'est pas dépourvue pour cela de toute signification, et rien n'empêche qu'elle exprime, par exemple, une propriété commune à une série de courbes, dont x^y^z désigneraient les coordonnées courantes [a63 et 267] : seule- T. H. a3
354 WVRB vu, GH^PITRS !•
ment il n'existe pas de surface qui soit le lieu géométrique de toutes ces lignes. Si Ton établit une liaison arbitraire entre ^ et x, ce qui revient à tracer arbitrairement la projection d'une de ces lignes sur le plan xy^ z devient fonction de la seule variable indépendante Xj et l'équation (i), construite comme une équation différentielle ordinaire, détermine la projection de la même ligne sur le plan xz^ pourvu seulement qu'on donne un point par lequel cette projection doit passer. L'intégration de l'équation (i) consiste dans c*e cas à trouver entre les coordonnées finies x^jr^ z un système d'équations renfermant une fonction arbitraire, et d'où l'on puisse tirer, par une détermination convenable de la fonction arbitraire, toutes les lignes dont les coordonnées jouissent de la propriété de satisfaire à l'équation différentielie proposée.
Or, la solution de ce problème dérive immédiatement de l'analyse qui nous a conduit à l'intégration de l'équation proposée, lorsqu'elle satisfait à la condition d'intégrabilité; car si, dans le cas contraire, au lieu de déterminer la fonction Z, qui entre dans l'équation (5), on pose
f désignant une fonction arbitraire, et ensuite
les valeurs de x^jr en fonction de z, qui vérifieront les équations (8) et (9), vérifieront aussi l'équation proposée, dont l'intégrale sera exprimée en conséquence par le système des équations (8) et (9), contenant la fonction arbitraire f et sa dérivée.
Supposons qu'il s'agisse d'exprimer que la ligne dont
EQUATIONS AUX DIFFERENTIELLES TOTALES. 355
les coordonnées courantes sont x^y^ z, est déterminée par le contact d'une surface conique ayant son centre au point (Xo^j'oy 2o)ï et d'une surface de révolution autour de l'axe des z î les coordonnées des points situés sur cette ligne' devront vérifier à la fois [a 49 et at54] les équations
py — qx = Q, (11)
dz «= pdx + qdy , d'où Ton tire, par l'élimination de p et de q^
dz xdx H- ydr , .
Z — z^ ^(^— ^oJ+jC?' — 7o) Cette équation ne satisËiit pas à la condition d'intégra* bilitéy tant que x^yjr^ ne sont pas nuls: on a dans ce cas
jA=a7(^— ^o)+r(r— ro),
au moyen de quoi les équations (8) et (9) deviennent
L'équation (1^), ou le système des équations (i3) qui en est l'équivalent, appartiennent donc à toutes les lignes qui jouissent de la propriété géométrique définie ci-dessus.
On aurait pu modifier l'énoncé du même problème, en demandant quelle est l'équation de la surface qui se trouve comprise à la fois dans la famille des surfaces coniques caractérisées par l'équation (ïo) et dans celle des surfaces de révolution caractérisées par l'équation (11). L'équation (12) à laquelle on est conduit pour exprimer cette double condition, ne satisfaisant pas à la condition d'intégrabilité tant que x^^y^ ne sont pas
nuls, il en résulte que, dans le cas général, une telle surface n'existe pas. Lorsque x^^y^ soiit nuls, l'équation (la) s'intègre et donne
^— z^ =i c l/x» +-/• , c désignant la constante arbitraire. Cette, équation appartient à tQUS les cônes droits qui ont leur centre au point de Taxe des z dont l'ordonnée est ^09 ^\ ^ ^^t bien évident qu'en effet ces cônes droits satisfont au problème ainsi énoncé.
En mettant l'équation (12) sous la forme dz \x{x—x^ +y (/— ^^) ] = (^— Zo) {xdx -^-ydj) , on voit qu'elle est satisfaite par lequation 3—2^=0, sans qu'on ait besoin de supposer nulles les coordonnées :ro,^o* Ainsi le plan mené par le point (^o?^o9 ^o), perpendiculairement à l'axe des z, est une surface qui satisfait à l'énoncé du problème; mais cette solution nest que singulière, comme le montre bien la forme de l'équation ci-dessus, et l'on n'y trouve pas la constante arbitraire essentielle à l'intégrale complète.
^ 525. Lorsque l'équation proposée n'est pas linéaire par rapport aux différentielles dx^dj^dz^ elle n'est susceptible de satisfaire à l'équation (3), et d'avoir en conséquence pour intégrale complète une équation entre Xyfy Z et un paramètre arbitraire, qu'autant qu'elle peut se décomposer préalablement en facteurs linéaires. Cependant, parmi les équations non linéaires qui ne satisfont pas à cette condition préalable d'intégrabilité, il 7 en a encore qui comportent une signification géométrique, et qui sont susceptibles de s'intégrer, avec toute la généralité requise, moyennant l'introduction de fonc* tions arbitraires.
Ainsi le problème de la rectification des courbes
]éQUATIONS AUX DIFFÊREUTI ELLES TOTALES. 357
planes consiste à intégrer l'équation différentielle à trois variables
ds'z^da;^ + dx\ (i4)
qui ne peut point se décomposer en facteurs linéaires, ni comporter pour intégrale une équation unique entre XjjTjS et une constante arbitraire, mais dbnt néanmoins l'intégrale générale peut s'écrire sous une forme plus complexe. ^
£n effet, il est permis démettre l'équation (i4) sous la forme
€&* = (dûccos ot — djr sin à)* + (dx sin a-{^dj- ço$ a)'', a désignant un angle arbitraire; et par suite on peut remplacer cette équation par le système de deux, autres
ds = dx cos a — û^ sin a , djs sin a -4r ^T ^^ «= o , , qui ont pour intégrales
j = ^cos« — jsina + p, ^sin a^^jcosa=:Y , (i5)
P,Y désignant d'autres constantes arbitraires. Maintenant que le système (i5) nous fournit une solution particulière de l'équation (14)? î^ s'agit de .généraliser cette solution.; et pour cela, suivant la méthode déjà appliquée dans le chapitre YUI du quatrième livre, nous poserons d'abord g=z<pa, y=4'*î puis nous égalerons à zéro les dérivées des équations (i5) par rapport à a, considéré maintenant comme variable. Ce calcul donne
oz= — o^sina — «/cosa+ç'a , orcosa — jrsina=v|/V, d'où AJ/o^npV, Yoc — y g. Conséquemment on satisfera à l'équation (t4).pair le système des trois équations
szz^.JC cosot— ••/ sina -f- ^a ,.
X sina + jr cos % = ff' et ,
X cos a — j sitt a = 9"a , dans lequel la fonction ? reste arbitraire, ou par le sys-
358 LIVKB VII. CHAPITRE 1.
tème suivant qui s'en déduit,
07= ^'a . sin a H-ç''a . COS a,
j = (p'a . COS a— 9"a . sin a , ( i6)
^ == <pa + ?"« ; et d'où l'on tire en effet
dx = (<p'a -f- ç'"a ) COS a rfa ,
fi?J = — ( <p a + ?"'«) sin a rfa ,
ds = (?'« + (p'"« ) £/a , valeurs qui vérifient bien évidemment Téquation (§4). Si Ton assigne la forme de la fonction 9) on aura Téquation de la courbe plane dont^f,:r,^ désignent respectivement Tare, l'abscisse et l'ordonnée, en éliminant a, si c'est possible, entre les deux premières équations (i6), et la valeur de l'arc en fonction de x ou de^, en éliminant a entre la troisième et la première ou la seconde des équations de ce groupe. Si l'on donne au contraire l'équation de la courbe
on y substituera les valeurs précédentes de x et de^, ce qui donnera une équation différentielle du second ordre, entre a et fa , dont l'intégration complète doit amener deux constantes arbitraires. Or, dans ce cas, la troisième équation (i6) donnerait aussi la valeur de s avec deux constantes arbitraires; tandis que cette valeur ne comporte essentiellement qu'une constante arbitraire, en raison du choix arbitraire de l'origine des arcs. Voici comment cette difficulté a été levée par M. Poisson, d'après une remarque analogue de Lagrange [49^] •
Quand on difFérentie l'équation (/) et qu'on y substitue pour dx^ djr leurs valeurs en fonction de a , il vient
r ^"^ COS a — . -^ 3in a j ( ça 4- cp'^'a ) rfa = o ,
lÊQUATIONS AUX DIFFlÂREirTl ELLES TOTALES. 359
équation qui se décompose en deux autres
^p'a-f-ya = o, -j^ cos a — ^sîna = o .
La première s'intègre immédiatement et donne ^ + <p"a = consU 5 maïs cette solution ne satisfait pas à la question, puisqu'on en conclurait s=xonst. La seconde équation ne contient pas 9'' a, et elle est du second ordre par rapport à % aussi bien que lequation (y ). Si donc on élimine ff'^oL entre ces deux équations du second ordre , on obtiendra une équation du premier ordre , qui sera une intégrale singulière de (^f) : en intégrant de nouveau , on aura la valeur de fa, et par suite celle de s avec une seule constante arbitraire.
* 526. Le système des équations (16) n'est pas le seul qu'on puisse poser comme équivalent à Téquation (i4). Il est clair que l'on satisferait à cette équation par le système de valeurs particulières
ar=a^+a, 7 = ^ l/i — «* + P > dans l'expression desquelles a, a, ^ désignent des constantes. Donc on satisfera aussi à l'équation (i4) par le système de formules
ar = 5(pa+a, 7=^l/i— ((pa)* +<!«, (17)
dans lesquelles f^ if désignent des fonctions arbitraires de la variable a , assujetties à vérifier les équations dérivées
Kl— (cpa)'
Les équations (17) et (i8) peuvent s'écrire ainsi qu'il
^uit :
JT-— a I
ça c= o , c'a H — = 0,
or— !«
par où l'on voit que la première s'identifiera avec la quatrième, si l'on détermine la fonction f de manière à satisfaire à la relation
En même temps la seconde équation, qui est la dérivée de la première par rapport à a, s'identifiera avec la dérivée de la quatrième ou avec la seconde dérivée de la troisième : la fonction ? se trouvera éliminée , et Ton aura, pour satisfaire à l'équation ( i4)) 1^ système des trois équations
^— ot + Cr— +a)4/'a=:o, | (19)
— I — (^'a> + Cr— ^a) f '« = o ; ) à l'inspection desquelles on reconnaît que a, 4*^ ^t j* désignent les coordonnées parallèles aux x et aiix^^ et le rayon de courbure de la ligne qui aurait pour développée celle dont x^jr sont les coordonnées courantes [190 ^^ sidif.^ 344 ^^ 492^]'
Si l'équation (i4) était remplacée par cette autre plus générale
la même analyse donnerait, au lieu des équations (19),
