CHAPITRE II
DK l'intégration, EN TERMES FINIS, DES EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.
527. On a VU [i 66 e^ suw.] comment se pratique réiiminatioa des fonctions arbitraires entre une équation à plusieurs variables indépendantes et ses dérivées; et comment , par cette élimination, on tombe sur une équation aux différences partielles , qui a autant de généralité que l'équation primitive, et dont cette équation primitive est l'intégrale. Ce sujet a été repris avec plus de détails, en vue des applications à la théorie des surfaces, dans les chapitres VII et VIII du quatrième livre. Maintenant il s'agit d'exposer les procédés les plus généraux qu'on emploie pour remonter d'une équation aux différences partieHes à son intégrale; quand cette intégrale peut s'exprimer sous forme finie, ou en séries convergentes d'un nombre infini de termes , avec les signes reçus dans l'analyse. D'ailleurs les équations aux différences partielles, considérées en elles-mêmes^ indépendamment des accidents de forme qui fout qu'elles admettent ou qu'elles V^^i^^^^^i^^ P^^ ^^^ intégrales analytiques, ont une signification et une valeur propres qui doivent faire l'objet d'une étude particulière et d'une discussion directe : c'est par cette discussion que nous terminerons le présent livre.
S i^'. De FiDlëgration des équations linéaires da premier ordre.
528. L'intégration des équations aux différences partielles du premier ordre, linéaires par rapport aux dérivées partielles qu'elles renferment, a été ramenée par Lagrange à dépendre de l'intégration d'un .système d'équations différentielles simultanées. Soient
-^ du ^r du -du —du T- , V
1 équation qu'il s'agit d'intégrer, et
F(m, Xy 7, z^ tj etc.) = o l'intégrale cherchée : u désignant une fonction des n variables indépendantes Xyj', Zj tj etc., et U, X, Y,Z, T, etc. des fonctions quelconques des n-[- 1 variables u^x^y^^t, etc. On a
d^ dY du dF d?^ dF^ dFdu
dx du dx ' ^ du dy ' dz du dz '
en conséquence, l'équation (a) peut prendre la forme ^^dF ^d¥ ^r/F „d¥ ^d¥ ...
et le problème est ramené à déterminer de la manière la plus générale, la fonction F qui satisfait à Téquation (^). Concevons qu'on ait intégré, avec toute la généralité requise, le système des n équations différentielles simultanées, renfermées dans Téquation continue
du dx dy dz dt ,.
on pourra mettre les intégrales sons la forme
. . . fn{x^jZ^tj . . . Il)=:=a„, W
flr„a„. . .a^ désignant les /^ constantes arbitraires amenées par l'intégration ; et l'on aura par conséquent
ÉQUATIOHS OU PREMIER ORDKB. 363
dt, , df,, dt, , . dt, . d£, , -^du^-r^dx+^djr + ^dz + ^dt+exc. = o,
-du + ^da:+^djr + -^dz + -^dt+etc.^o, OU bien, en vertu dès équations (c),
AtDsi les n fcmctions f^ f.,. . . f. satisfont à l'équation (&) et fournissent autant d'intégrales particulières de la proposée (a).
U est facile de voir qu'une fonction arbitraire O des quantités f,, f„. . .f. satisfait pareillement à l'équation (a) ; car si l'on ajoute les premiers membres des équations (</'), après les avoir multipliés respectivement par d$ d^ d<b
il vient
„rf* rf* ,</* ,rf* ^rf*
Donc on a pour intégrale de la proposée
<l>(f,,f,,f3 . . .f„)==o, ou f, =<p(f.,f3>--f»)> ^, f étant des caractéristiques des fonctions arbitraires; et d'ailleurs on reconnaît /jue cette intégrale a toute la généralité requise, attendu qu'on ne peut éliminer qu'un signe de fonction arbitraire , par la combinaison d'une
équation avec ses dérivées partielles du premier ordre. 529. Appliquons cette analyse à l'équation à trois variables
^è+^$ = ^' °" X/'+Yy=Z, (i)
et supposons en premier lieu que les fonctions X, Y, Z se réduisent à des nombres constants P, Q, R : les équations (c) deviennent
et elles conduisent aux intégrales
ILr— Pa=a,, R/— Qjs=fl,; (a)
de sorte que la proposée (i) a pour intégrale générale
R^~ Pjz= ç(R/— Qs),
Cette équation caractérise la famille des surfaces cjHndriques, et les équations (2) sont celles des droites génératrices [247]. •
CoDservons à X, Y leurs valeurs constantes P, Q, et posons Z = z : on aura pour équations différentielles à intégrer
Vdf — Qé£r=o, Mtp^-Prf8=o, d'où
ce qui met l'intégrale de la proposée sous la forme * ^=/.ç(Pr-Qx> (3)
Enfin, si nous prenons pour dernier exemple l'équation px + qjrz^nX/ITilp'y (4)
nous aurons à intégrer les équations différentielles à deux variables
xdz = ndx v^x* -f.^», x^— /<ir=o:
ÉQUATIOirS DU PREMIER ORiDRE. 365
la seconde donne ^= a, a:, et la première devient, par la substitution de cette valeur de ^,
dz===ndx\/t + a]y d'où z=/ï l/i-f-aj .a:+a^ , et en remettant pour a^ sa valeur,
En conséquence l'intégrale est
530. Le propre des intégrales complètes (d) est de satisfaire aux équations (c) immédiatement, en ce sens que les valeurs de duy dxy dy^ dz, etc., tirées des dérivées des équations (d\ rendent les équations (c) identiques, sans qu'on ait besoin de revenir aux liaisons établies entre les variables w, x,jy, 2, etc., par les mêmes équations {d) ; puisque ces liaisons dépendent des constantes a^j a^j etc., et que les équations {d\ ou leurs dérivées, doivent vérifier les équations (c), quelles que soient les valeurs assignées à ces constantes arbitraires. Inversement, et par une raison contraire, si les équations (c) admettent des intégrales singulières
?.(-^î7»Vi- • .'*) = o,. . .<p«(jr,/,V,' . .«)=o, j ^ ^ les dérivées de celles-ci ne vérifieront les équations (c) qu'autant que l'on tiendra compte des liaisons j^xprimées par les équations (^); ou, en d'autres termes, il faudra combiner les équations (J) avec leurs dérivées, pour satisfaire au système des équations (c*). Cela posé, chacune des équations (^) satisfera à l'équation (6), ou à l'équation {a) dont celle-ci est une transformée ; mais on ne satisferait pas à l'équation (é)'€n prenant pour F une fonction arbitraire des quantités <p,, f„. . .f^, ou une fonction arbitraire dans laquelle entreraient, en
366 LIVRE vu. CHA.PITRE II.
totalité ou en partie, les quantités ç,, <p,,. . .ç„, associées aux quantités f,, f,,. . .C,^ prises aussi en totalité ou en partie. Donc l'équation (a) n'admet pas d'autre intégrale coiAplète que celle oîi les quantités f,, f,,. . .f» entrent exclusivement sous le signe de fonction arbitraire, mais elle est satisfaite par chacune des équations (8) ; et ces équations sont des intégrales singulières de l'équation {a), puisqu'elles ne se trouvent pas renfermées dans l'intégrale complète.
Prenons pour exemple l'équation linéaire du premier ordre à trois variables
Z'— î(t+^ — v^^*+r4-^)=7 — •^ + l/*»+^ + «> (5) dont l'intégration est subordonnée à celle des équations différentielles simultanées
que l'on peut remplacer par
et qui ont pour intégrales complètes,
La seconde de ces intégrales donne naissance à Fintégrale singulière
Chacune des équations
donne pour p ei q des valeurs qui , mises dans Féquation (5), la rendent identique : en conséquence, l'équation (5) a pour intégrale complète
^ étant une caractéristique de fonction arbitraire. Au contraire, l'équation (6) donne pour p et q des valeurs
EQUATIONS DV PREMIfiil ORDRE. 367
qui, substituées dans Téquation (5), ne satisfont à cette équation qu'autant qu'on tient compte de Téquation (6) pour supprimer le radical qui entre dans i'ëquation (5). Dès lors l'équation (6) ne satisfait à la proposée (5) qu'en qualité d'intégrale singulière.
Si l'on met l'équation (4) sous la forme équivalente
dF dF ^ elF
on trouvera de même qu'elle admet pour intégrale singulière l'équation
ou le système des équations .r=o,^=:o.
* 531. Soient ^, /, z, etc., des variable^ indépendantes en nombre n; u, v, w, etc., des fonctions de ces Variables en nombre /w-[" ^j ^.^^ doivent vérifier le système des /w+ i équations aux différences partielles, linéaires et du premier ordre :
„ du ^r du „du V
^dif ^.dif rw^^if I , ^ .
dx dy az '
etc.,
dans lesquelles U, V, W, etc. ; X, Y, Z, etc., désignent des fonctions quelconques de toutes les variables dépendantes et indépendantes. Soient
des fonctions des mêmes variables, qui, mises à la place de F, rendent identique l'équation
368 lilVAB vu. CHAPITRE II,
■TT^F --flfF -,rfF U-^ + V— +W;^ + etc.
du dv dw
OU bien des fonctions telles que le système d'équations difFërentielles simultanées
du dv dw dx dy dz
ait pour intégrales complètes
le système des équations [È) aura pour intégrales complètes
4>,7 Oai • • • ^M+i étant des ca^ractéristiques de fonctions arbitraires. Voici comment ce théorème remarquable a été établi par M. Jacobi :
Désignons par \^ X,,. . .X^, des quantités auxiliaires telles que les rapports de l'une d'entre elles à toutes les autres soient déterminés par le système d'équations linéaires, en nombre m :
etc.; et posons pour abréger
nous aurons , en différentiant successivement chacune des équations (*^) par rapport à la variable indépendante Xy
d^, d^, du rf<^, dv d^, dw \
rfjf du dx dv dx dw dx * ' , rf4>, d^^ du rf^, dv rf*4 dw
rf^;,+t d^m+^du ^ d^^^, di> ^ d^„,+, dw ^^^^
dx du dx d\f dx div dx
Multiplions les équations ( 7^ ) respectivement par
dv div 19 / - / X du
^, -p, etc., i équation (A) par— , et ajoutons, en tenant
compte des équations (^') : il viendra On trouverait de même
etc.
Mais, parce que les fonctions f^ et par suite les fonctions ^ , mises à la place de F, vérifient l'équation (B), on a identiquement
U^'+V^'4-etc.4-X^^4-Y^+etc.==o.
au dv dx djr ^
Multiplions ces équations respectivement par \y \, . . .
X^^.„ et ajoutons, en ayant égard aux équations (^',) : il
vient
- ^ du ^ ^du r,du ,
370 LivuE VII. — cHJiPinuî n.
c est-à-dire, que nous retombons sur la première de& équations du systènie propose, et Ton prouverait de même que toutes les autres équations sont vérifiées.
*^ 2. De rintëgration de» équations non linéaires du^ premier ordre^ à trois variables.
532. La méthode exposée pour Tintégration des équations linéaires du premier ordre a été étendue par La* grange aux équations quelconques du premier ordre, mais à trois variables seulement. Soit
une équation de cette forme , que nous différeittierons successivement par rapport à chacune des variables iodépendantes ^^j^, en ayant égard à TéquatioD de condition -f- = -j- : il viendra fùv dy
" dz dx dp dx dq dj-^
" dz djr dp dx dq dj^ et si Ton y joint Téquation identique
df df df dz df dz ,^,
^dp'^'^Tq—TpTx "^ l^Ty' ^-^'^
on aura un système de trois équations entre les variables itidépendantes x^j et les trois variables 2, /?, q^ considérées comme fonctions des deux autres : système de même forme que le système (A) du n^ précédent. Ainsi l'intégration des trois équations aux différences partielles (yi) et (y^) dépend de celle des quatre équations différentielles ordinaires r df <lf\à<JO df r df df\dY df f.
On tire de ces quatre équations
ce qui doit être, puisque les variables x,j, z, p, q sont liées par l'équation (/). Dès lors il suffira de prendre les trois équations {g) çt {g,\ qui ne contiendront que les variables x,j, z, p, après qu'op y aura rais pour q sa valeur en x, 7, z,/?, tirée de l'équation (/). SI nous désignons leurs intégrales complètes par ft(^xr»2,/')=«o f.{x^,Zyp)^a,, U{x,x,z,p)^a,,(h) le système (g) et (g,) aura pour intégrales générales l'équation proposée (/), combinée avec les suivantes
^.(fof.,f3)=o, <&.(f.,f.,f3)==o, (H)
dans lesquelles 4>,, <I», entrent comme caractéristiques de fonctions arbitraires. Mais la généralité de cette solution doit être restreinte, en raison de ce que les fonctions p^ q sont tenues de vérifier les équations aux différences partielles
dz dz '
ou l'équation aux différences totales
dz ^=^pdx + qdy^ n\
533. Des équations (/) et (A) on peut tirer les expressions de x,jr,p,q en fonction de z, a^.a^, a^ , ou <^e z^ f, , fa , fa; et si l'on chasse x,^, ^, q de l'équation [i), on aura la relation entre f„ f^, fg, à laquelle doivent satisfaire les équations (H), pour pouvoir être regardées comme des intégrales de l'équation proposée.
372 LIVRE vif. CHAPITRE II.
Or, lorsque l'on considère x, y^ />, q comme des fonctions de z, f i , f2 , fa , Téquatiofi {i) devient
Mais, en vertu des équations (^), l'on^ a
dx dy ,,,
ce qui réduit l'équation précédente à
P.rff,+P.rff. + P3rff3 = o, (/)
qaand on pose , pour abréger,
^ dy ^ dx dy ^ \
dx dy / w
On a aussi
d», \t dz ^ dzj dp dx^ dg dy
dz d(^ dz ' rff , dz' di^
r dp dx dq dy\
~\dr;'^'^dr/'^J'
ou plus simplement , en vertu de l'équation (k)j
dP, dp dx dq dy / dp dx dq dy\^
'l^~TzW,'^Tzdf~\^,'Tz'^lî,'di^^
et si nous substituons dans le second membre, pour dx dy dp dq
-r^ :r-' :r' ^' dz dz du dz
leurs valeurs données par les équations {g)^ (gi) et {^2)? en posant en outre , afin de simplifier l'écriture.
il viendra
np-^nq-^^
dz~ dz P Wrff. d/df, ^dpdU dq'dfj
Mais on a identiquement^^=: o , après cj^u'on a substitué
dans f^ pour x^jj p^ q leurs valeurs en 2, fi, fa, fa,
qui satisfont à la proposée : *donc l'équation précédente
se réduit à
1 dP^ i df
et par la m^me raison Ton a
I rfP. i df 1^ rfPa i d/
¥ldz— VTz V^^lk~ VTz' d'où, en intégrant et en désignant par Fi, Fa, F3, des fonctions de f| , fa , fs , qui ne contiennent plus z,
P.=F,e-^"** , P.=F.éJ^'* * , P,=F,é?'^'' * •
En conséquence l'équation (/), équivalente à (/), se réduit, après la suppression du facteur commun, à
F,rff,+F.rff3 -|-F,rff3=o, (/i)
Lorsque les fonctions fi, fa, fa auront été déterminées par les équations (A), les fonctions Pi , Pa , P3 seront connues, en vertu des équations (/n);et par la suppression du facteur commun en ^, dont on vient de démontrer I existence ^ on connaîtra de même la composition des fonctions Fi , Fa , F3 en f i , fa, f^. Cela posé, l'équation aux différentielles totales {ri) s'intégrera toujours [5^4] par le système de deux équations renfermant une fonction arbitraire de l'une des quantités fi, fa, fa» et la dérivée de cette fonction arbitraire. On aura ainsi le système de toutes les intégrales particulières, ou l'intégrale générale de l'équation proposée.
