Mais on peut y arriver aussi d'une manière plus
rapide : eu effet , l'équation fi^^=ai est évidemment une tolutiôh particulière de l'équation (n) ; k résolution de cette équation , oii à, désigne une constante et f| une fonction connue de ^,7", z,p, donnera
et ensuite on aura , par l'équation (/),
Ces valeurs , substituées dans la formule (1), rendront le second membre une différentielle exacte, puisqu'elles doivent conduire à une solution de l'équation proposée. Si donc on intègre par la méthode connue [SgS] l'équation
on obtient une équation de la forme
Ojt étant une autre constante introduite par la nouvelk^ intégration ; et Cette équation qui renferme deux constantes arbitraires , satisfait à Tintégrale proposée dont elle est une intégrale particulière.
Donc l'équation
F(x,7y2,û,,'GJa.)=o, ^ [xi]
oîi ti est employé comme caractéristique de fonction arbitraire, est aussi une intégrale de la proposée, qui se trouvera pareillement satisfaite si Ton détermine ai en fonction de Xy jy z par l'équation
Conséquemment le système des équations (tJ) et(tr) représente, à cause de la fonction arbitraire tJ qu'il renferme, l'intégrale générale de la proposée; et Ton en déduira chaque intégrale particulière, par l'élimination de ai entre ces deux équations, après qu'on aura particularisé la fonction aAitraire 'd.
£QUATlOiy$ DU PIIJ^MIK^R ORDttfi. . 375
Il est visible , quand on se reporte à la théoriie de 1 enveloppement des surfaces [livre IV, chap. VIII], que réquation {p) est celle des surfaces enveloppées qui ont la propriété de satisfaire à la proposée; tandis que les surfaces enveloppes qui y satisfont d'une manière plus générale, à cause de l'indétermination de la liaison établie entre les deux paramètres variables de l'enveloppée, sont représentée» par le systènne des équations (isi) et
Les familles de surfaces, caractérisées par des équations aux différences partielles du premier ordre^ à trois variables, se distribuent donc essentiellement en deux groupes. L'un se compose des surfaces dont l'équation différentielle caractéristique Ht linéaire par rapport aux coefficients p^q : en sorte que l'intégrale générale est donnée par une équation unique comprenant une fonction arbitraire , et que la surface est définie par le mouvement d'une ligne génératrice qui peut varier de forme en même temps qu'elle se déplace. L'autre groupe comprend les surfaces dont l'équation aux différences partielles n'est plus linéaire : d'où il résulte, d'une part, que l'intégrale générale est donnée par le système de deux équations où entrent à la fois la fonction arbitraire et sa dérivée; d'autre part, que les surfaces qu'elle représente peuvent être considérées comme autant d'enveloppes. Selon que les équations différentielles simultanées, à l'intégratron desquelles on ramène celle do réquation proposée aux différences partielles, ont ou n'ont pas d'intégrales alg^ébriques , les lignes génératrices ou caractéristiques sont ou ne sont pas des courbes algébriques : mais cette circonstance accessoire ne change rien à la distribution dont nous parlons.
376 LIVRE VII. GHAPITBE 11.
535. Appliquons l'analyse qui précède à Téquahou aux difFérences partielles
qui est [â6i] celle des surfaces-canaux, à section circulaire constante : l'équation (gi) devient pour ce cas
et, par sa combinaison avec la proposée, dp R*dz
p '^ zÇK'—z'') — ''' équation dpnt l'intégrale est
a^ désignant la constante arbitraire. La proposée donne ensuite
et la formule (J) devient
zdz , . ,
d'où, en intégrant et en désignant par ^ une nouvelle constante arbitraire,
— |/r* — »» = ow? -i- l/ni^.j -h p.
Si nous changeons de constantes , comme cela est permis, en posant
réquation précédente prendra la forme
,i + a* ' et elle appartiendra au cylindre droit, qui fait fonction d'enveloppée développable pour les surfaces-canaux, a section circulaire constante.
536. Il ne sera pas inutile d'indiquer quelques cas particuliers où Ton peut arriver à l'intégrale plus rapidement qu'en suivant la méthode générale. Soit , par exemple ,
l'équation proposée qui appartient à une famille de surfaces développables [2^5 et !&66]^ caractérisée par la forme de la fonction donnée n : on a
et en intégrant par parties ,
z == xUq 4- qy —f{xU!q + y)dq.
Pour que l'intégration indiquée soit possible , il faut
poser
et alors on a
Donc le système des équations
z=^xYLaL -i-a/ — ça, xTL'a -|- j=:îp'a, renfermant l'indéterminée a, la fonction arbitraire f et sa dérivée 9', représeute l'intégrale générale de la proposée.
Soit encore l'équation
on pourra poser
/(p^)=a=%,^), d'où
L'intégration par parties donne
quand on pose , pour abréger,
378 LIVHfc VII. -— CHAPITRE tï.
Donc rintégrale ' générale consiste dans le système des deux équations
cil f désigne une fonction arbitraire.
Enfin , si Ton avait l'équation
sa forme indiquerait qu'elle admet pour intégrale particulière l'équation
a , p désignant des constantes arbitraires : donc l'intégrale générale est donnée par le système
z = 9a.e""*'âî o=:^'a + (x — ^ )ça«
537. Nous avons exposé la. méthode de Lagrange pour Fintégration des équations aux différences partielles du premier ordre , avec les perfectionnements <]u'y a apportés M. Jacobi. Lorsque l'équation n'est pas linéaire par rapport aux différences partielles, et que le nombre des variables indépendantes surpasse deux, l'intégration générale de l'équation aux différences pa^ tielles se ramène encore, mais par des procédés plus compliqués y à celle d'un ou de plusieurs systèmes d'équations différentielles ordinaires. On peut consulter le mémoire de Pfaff dans le volume de l'Académie de Berlin pour i8i4, le Journal de mathématiques de M. Crelle, T. II et XIII, et celui de M. LiouviUe, T. III, oïl se trouvent consignées les récentes et belles recherches de M. Jacobi sur ce sujet important, qui sort du cadre •des éléments.
* CHAPITRE III
D£ L'ilTTÉGRATIOir ^ BIT TEEMES FINIS, BBS EQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES DES ORDRES SUPÉRIEURS, A TROIS VARIABLES.— REMARQUES SUR LES INTEGRALES SINGULIÈRES ET SUR LES INTÉGRALES PARTICULIERES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES.
5 1^'. De rintëgratîon y en termes finis, des ëquations aux différences partielles do second ordre , à trois variables.
