G>nsidéroDS d'abord l'équation du second ordre

linéaire par rapport aux dérivées du second ordre r^ Syt: R, S, T, y désignant des fonctions quelconques des variables x^/yZ et des dérivées p^q. L'élimination de r,/, au moyen des équations

dp = rdx -h sdy-y dq = $dx + tdfy (a)

donne

^dpdy + Hdqdx — \da:dx = s (Rrf/'— Sdxdf + Trfr») . * Posons séparément

Rrf/7rf7 + Tdqda; — Vdydx = o , <*)

Rrf/' — &irrfr+T4atr»=o; (c)

joignons-y

dz z=, pdx ^ qdy '^ (rf)

et admettons qu'on puisse satisfaire à ces trois équations entre les cinq variables ^,./, 2, /?, gr, par des équations de la forme

380 LIVRE VII. CHâPlTRK III.

réquation

. f.=<pf. if)

satisfera à la proposée dont elle sera une intégrale du premier ordre; et, à cause de Tindétermination du signe 9, cette intégrale aura toute la généralité qu'elle comporte.

Pour établir cette proposition , mettons l'équation (c) sous la forme

et désignons par^', l'une de ses racines : l'équation (b) devient

Ry . «^ + Wj — vy , «& = o . (i.)

Les équations (e) ont pour dérivées

dt\ . rff. , d(, , df^ . </f. j

dÛ'^+Tr'^r+^^dz+^^dp+^dç^o,

ou bien, en remplaçant efy- p&rjr\dx, et en chassant dz,dq, au moyen des équations {d) et (^i),

Os demièi*es équation§ doivent être identiques, puisque , par hypothèse , les équatious (e) vérifient le système {b)y (c)j (d); et ainsi l'on a séparément

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lÉQUÂTIONS DES ORDliES fiu P^BIEURS. 381

d(. ,di, , ,.dï, vy, «ff. ,

dp T dq~ ' df, jdf, , ,.df, ■\y, df,

d{.^ ^»-' . dp 1 'dq~

D'autre part, l'équation (/) donne

df,, df,. dr,. df,, df,, ^d. + ^djr+^dz + ^^dp+^dq

/df, , df^ , df,, df, , df, , \ ,^

et œlle-ci , quand on y met pour

dz ^',^,^,^ ' dx dp dx dp

leurs valeurs tirées des équations (d) et («'), devient

^y,dp-i.Tdq^\y,dx=cdx—f,da^, (g)

en posant, pour abréger,

Remettons dans Téquation (g) pour dp, dq leurs valeurs tirées des équations (a), et nous aurons

Puisque les variables x^j sont indépendantes, il faut qu'on ait séparément

R7>+T;f— V/'. + Oy.^o, Ry,5 + Tr— *=o . Mais de là on conclut que Téquation {g) satisfait à la proposée, quelle que soit la forme de la fonction <p qui n'entre que dans ^; car, si l'on tire des équations précédentes les valeurs de r^t en fonction de j, pour les

382 LIVRE V\l. — CHAPITRE II J.

substituer dans la proposée, ^ disparait, et il reste

/(Ry.-Sy.+T) = o, équation identique , puisque y'i désigne une racine de l'équation (ci).

539. Pour éclaircir ce calcul par quelques exemples , supposons d'abord que les coefficients R,S,T se réduisent à des constantes, et qu'on ait y::=o : les racines de Féquatton (ci) seront aussi des nombres constants mum%\ en employant la première racine, on aura pour intégrales des équations [c) et \h\

d'où l'on conclut que la proposée a pour intégrale première

Km^p + Tq = 9, (r — w,ar) .

L'emploi de la racine ni^ donnerait de même

T A cause ik la relation nigm^=^j ces deux intégrales

premières peuvent être mises sous la forme

p+m,q=^^^fr(jr—m^\p+m,q=:r^^ (h)

et Ton en déduit

en posant , pour plus de simplicité ,

VkniJ^m^—m^ ^ ^ ^ RmJ^m^ — m^) ^^ .

Si l'on substitue ces valeurs Aep,f dans l'équation {d)^ il vient

dz=idy—m^dx) . <f{y~m,x)—(djr—m^dj:) • Mj"—^^) 1 d'où, eu intégrant et en désignant par 4»,^ les fonctions

ÉQUATIOirS D£S ORDRES SUPÉRIEURS. 383.

qui oni pour dérivées les arbitraires 9 et — j^^

Les deux fonctions arbitraires qui entrent dans cette intégrale de la proposée, lui donnent toute la généralité qu elle comporte.

Soit

la proposée devient

et elle a pour intégrale complète

L'équation (i) qui exprime la loi des vibrations transversales d'une corde élastique , et celle de la propagation du son dans un tuyau cylindrique , est la première équation aux différences partielles dont ou ait trouvé rintégrale générale. Les recherches des géomètres , à propos de cette équation, sur laquelle nous reviendrons dans les chapitres suivants, ont fondé la physique mathématique , et créé une branche nouvelle de l'analyse. Si le terme Y n'était pas nul, et s'il renfermait seulement la variable indépendante x^ on serait conduit à ajouter aux premiers membres des équations (A) le terme

— n /Vâfr, et à la place de l'équaticm (/) I'cmi aurait

540. Cette analysl demande à être modifiée, dans le cas cil le terme V contient à la fois les deux variables Xyjr^ et dans celui où les racine^ mi,m^ sont égales; ce qui fait que les deux fonctions arbitraires ^^ se confondent en une seule, et que la valeur de z n'a plus la

384 LIVRE vu. — CHAPITRE III.

généralité requise. Ck)nsidérons d'abord le premier cas : nous aurons pour Tune des intégrales premières

L'intégrale y V^ est prise dans l'hypothèse où l'on a dy — m^dx^=zQ^ d'où j — iw^=a,; en sorte cju'il faut d'abord substituer dans Y cette valeur de^, intégrer ensuite par rapport à x^ puis remettre pour ai sa valeur^ — myX; ce qui donne

f étant une fonction connue , qui se tire de V par une simple quadrature.

La valeur de p^ substituée dans (d) ^ donnera donc dz:=q {dy — m^dx) +f (x^ — m^).dx + <p (j — m^).dXi équation qui s'intégrera si l'on peut intégrer conjointement les deux équations différentielles ordinaires

dy — m^dxzzizo , dzz=i[f{x,y—m^) +^(r — m^x)] dx .

La première donne

au moyen de quoi la seconde devient

et elle a pour intégrale

^ désignant une constante arbi traire, -^^ une fonction arbitraire, et F une fonction connue, qui se tire de /au moyen d'une quadrature. L'intégrale de la proposée sera Pa=^a2,oîi il faudra substituer pour ao, pa leurs valeurs fournies par {k)y{rn) : or, cette substitution donne z=V{x,y — m^)+^{y—m^)-^W{j—m^) .

ÉQUATIONS DES OHDRKS SUPÉRIKURS. 385

541. Passons au cas d égalité (les raciqes miy-m^^ et, ' pour simplifier, prenons V=:o : on a, en supprimant les indices qui deviennent inutiles ,^ — /72a:=a, dy"==:nidxy P'\-mqz=ifSf{y — /7ij;)==<pa, et l'équation [d) devient 1

dz=iz(fa . djc , d*où z — ^<pa= p ; |

en sorte que la relation p=:<j^a donne pour l'intégrale

2 = 0:9(7 — ma:) -4- + (7 — ^^) i («)

et comme Tes fonctions arbitraires 9, 4^ ne se confondent plus, cette intégrale a la généralité Requise. Ceci s'applique à l'équation [sàSi]

B»r — 2 ABj -h AV = o , qui est celle des surfaces réglées dont la génératrice reste constamment parallèle à un plan directeur kX'\-By=o : on a pour l'iutégrale complète z =x^ (Ax -hBj) -i- ^.{Ax + Bj) .

Les mêmes surfaces ont pour équations aux diffé^> rences partielles, quand le plan directeur est celui desx;;*,

yV — 2pqs +p*t = o .

Les équations (c) et (A) deviennent alors

pdx + qdy -^idz = o , qdp — pdq z=z o ; on a, en les intégrant, z=aiyp=:^q; ce qui donne pour intégrale première de la proposée p=q<^z. Afin de passer à l'intégrale seconde, on substitue cette valeur de /> . dans l'équation (âQ, et il vient

dz = q(fz . e£r -h djr) , formule dont l'intégration se ramené à celle des équations différentielles ordinaires

rfs tr=: o , <pZ , û£p + rfj = o .

Mais celles-ci ont pour intégrales îma, ,.rq>a,-j-/zz=fi,; ce qui donne pour l'intégrale seconde de. la proposée,

x<fz+x=z^z . (o) ^

T. II. l5

542. Snfin nous avons trouve [2 5o] pour l'ëquatiou aux difFérences partielles qui caractérise l'ordre des surfaces réglées à directrices rectilignes,

x^r 4- 7,xys +7*/ = o .

Les équations (c) et (U) deviennent, dans ce cas,

xdy — ydx:=-o ^ xdp -\- ydq •=. o ^

et elles ont pour intégrales^ = oo:, /?-j-agrzz=p, d'où

l'on tire

pour l'intégrale première de la proposée. En substituant, comme à l'ordinaire, la valeur de/? dans l'équation {d\ on a

flte = !pK j . dx + q(dy — ^ d3c\ \

ce qui conduit à intégrer les équations difFérentielles

xdy — ydx=,o , dz — <? ( - ) • ^^ == o .

L'intégration àoxmey=aiX^z — ^^(pai=pi ; et l'on trouve, en conséquence, pour l'intégrale seconde de la proposée,

On peut remarquer l'analogie de forme des équations {n)y (o), (/?), qui toutes trois rentrent dans le cas d'égalité des racines de l'équation (c^).

543. La méthode exposée ci-dessus, d'après Monge, et dont nous venons de faire diverses applications, tombe en défaut lorsque le système des équations {b)^{p\ (d)y dans lesquelles entrent, en général , les cinq variables x, /, z, /?, Çj et qu'on ramène par l'élimination à une équation différejitielle entre trois variables , ne satisfait pas aux conditions d'intégrabilité. Soit, par exemple.

ÉQUATfONS iy£S ORDRES SUPERIEURS. 387

I equatiou proposée

les équations (c) et (é) deviendront, pour mi=± i,

dyzj^dxzzzo ^ dp-j^dq ^ -^^ •

mais 9 quel que soit le signe adopté, Téquation en dp^ dqy dx ne satisfait pas à la condition d'intégrabilité[523]. Cependant l'équation {g) a pour intégrale en termes finis

^=^{3r+x) + '^{jr—^)—x[^'{y + x)—^\y—x)] , comme on s'en assurerait aposteriori; et là théorie de la construction des équations aux différences partielles montrera que cette intégrale a toute la généralité requise, à cause des deux signes de fonctions arbitraires f,^.

§ 2. De Tintëgration des équations linéaires aux différences partielles, à trois variables et d'un ordre quelconque.

544* Parmi les équations aux différences partielles , d'un ordre plus élevé que le second, nous nous bornerons à considérer ici Téquation linéaire à trois variables

A3iC, . . . G.H désignant des coefficients constants. Prenons zzzrtp (^-^mx) : il viendra d^ z df^z

__ ;„«y(»)f^,.;^)^____OT»-. <pW(jr+;„j.), etc. ;

et l'on satisfera à la proposée, pourvu que la constante m soit une des n racines m, ,m',...m^, de l'équation al-

o88 LIVRK VJI. CHAPITRK ni.

gébrique

Aw« + B/n«-' + C/n"~» + ...... +G/w -|- H=o . (r)

Doue on pourra prendre , à cause de la forme linéaire de la proposée,

2==?i(r+'w.j:) + cp. ( j+/Wa^) + + (pn ir+^n^) ,

<Pm ?a- ?/i étant employées comme caractéristiques de fonctions arbitraires distinctes. On s'assurerait d'ailleurs que cette valeur de 2 a toute la généralité que peut comporter l'intégrale de l'équation proposée.

545. Il n'en serait plus de même si l'équation (/') avait des racines égales, par exemple, /w,=7W2, car alors les deux fonctions cp,, 9» se confondraient en une seule: mais si l'on pose dans ce cas

on a

^;j:::j^==/72.«-'[cp/«)4.j;ç.(«)] + (« — 0 etc. ;

en sorte que la substitution dans la proposée donne

et il devient évident que cette valeur de z satisfait à la proposée, puisque, par hypothèse, m, est une racine double de l'équation (r). Donc pn peut preodre dans ce cas

le nombre des fonctions arbitraires distinctes restant à H.

REMARQUJiS SUR I/ES ilHTlÈGRALES SlICGULliRtS. 389

§ 3. Refnarques sur les intégrales singulières et sur les intégrales particulières des équations aux différences partielles.

546. Considérons une équation aux différences partielles du premier ordre

délivrée de radicaux et de dénominateurs : et soit

une solution de cette équation , dans laquelle n'entre pas de fonction arbitraire , et qui peut être, ou une intégrale particulière, ou une intégrale singulière. Si c'est une intégrale particulière, il sera permis de représenter l'intégrale générale par

ç désignant une fonction de Xyj, a, qui lie s'évanouit ni ne devient infinie quand on y fait e=:o [477]- En substituant dans la proposée, on trouve, pour déterminer la partie de ç indépendante de la constante e, l'équation

^ dz dp dx dq dy ' ^

dans laquelle les différences partielles

dz^ dp^ dq se rapportent à la valeur z = f(^,^). D'ailleurs on peut s'assurer que la partie de 9 indépendante de e doit renfermer le même nombre de fonctions arbitraires que la valeur complète def; en sorte que la considération de cette partie de ? suffit pour reconnaître la nature de la solution (f).

Cela posé, si la valeur z=i.î (^x^y) donne

df df ^ .

390 LIVttE VII. CHAPITRE III.

sans qu'il en résulte

on ne peut satisfaire à l'équation (f^) qu'en prenant (p=o; de sorte que la solution (f), n'étant pas susceptible de se compléter comme l'indique l'équation (ç), constitue une intégrale singulière de la proposée.

Ainsi la recherche des intégrales singulières consiste à déterminer les valeurs de z en x^ y^ qui satisfont à la fois aux équations ( /) et (j), q^), en éliminant/;, g entre ces mêmes équations. Il faut, de plus, s'assurer que ces valeurs de z ne vérifient pas l'équation (z).

Appliquons ceci à Téquation des surfaces-canaux

on aura pour les équations (p, y), z^p:=zo^ z^qz=zo. On ne peut pas en tirer z=o, car la proposée ne serait pas satisfaite, et au contraire l'équation (z) serait vérifiée; mais les solutions /?=o, y=o, conduisent à Finlégrale singulière z'^ — R*=z=o.