Si l'on donnait une équation dii second ordre

le même calcul mènerait aux équations de condition (p, y), et en outre à

df df df , ,

de manière que l'élimination de /?, q, r, Sy l entre les équations (/?, y )i(/'^ j, Z) et la proposée donnerait une valeur de ^ en x,^, qui serait une solution singulière, pourvu que cette même valeur de z ne vérifiât pas l'équation (z). Si la valeur ( f ) vérifiait seulement les équations (r, s^ t)j on aurait, pour déterminer la partie de ^ indépendante de e, l'équation (?^) aux différences partielles du premier ordre , dont l'intégrale ne pourrait

REMARQUES SUR L£S INTIÉGRALES SINGULTÈRES. 391

renfermer qu'une fonction arbitraire : en sorte que la solution ( f ) 9 n'étant pas susceptible de se compléter par l'adjonction de deux fonctions arbitraires , comme le requiert l'ordre de l'équation proposée , ne serait qu'une valeur particulière provenant de l'intégration d'une solution singulière du premier ordre.

On conclut de là que, si l'on trouve une équation du premier ordre qui satisfasse à la fois à la proposée et aux équations (r, s^ /), cette équation sera une intégrale singulière du premier ordre..

Soit donnée, par exemple, l'équation du second ordre

r-(argr-7)(^/7 — ;^^^=o, '(3)

qui ne cointient, ni x, ni t : le système des équations (r, j, /) se réduit à

On satisfait à cette équation , ainsi qu'à la proposée , en faisant

équation du premier ordre, qui a pour intégrale

ç désignant une fonction arbitraire. Par conséquent cette dernière équation est une intégrale singulière de la proposée.

548. On peut aussi, dans certains cas, assigner des intégrales particulières à des équations aux différences partielles dont les intégrales générales ne sont pas connues, ou même ne pourraient exister sous forme finie; et les intégrales ainsi obtenues , quoiqu'elles n'aient pas toute la généralité requise pour la solution analytique ,

peuvent résoudre avec une généralité suffisante le problème qui a copduit à l'équation aux différences partielles. Admettons que cette équation soit du second ordre, de la forme f(/?, q^r^Sj e)=Oj de manière quelle ne contienne point les variables ^,^, z; et supposonsla en outre homogène en r^s,t: malgré ces restrictions, elle ne pourra s'intégrer généralement que pour de cer~ taines formes de la fonction f; mais si, parmi toutes les surfaces susceptibles de satisfaire à cette équation , on n'a en vue que les surfaces développables pour lesquelles p=Uq^ on pourra poser

s — tVL'q^ r=:sU'g = t{n'qy •

en sorte qu'après la substitution de ces valeurs de s et de r dans la proposée, qui est homogène en r, ^, /, la dérivée t s'en ira. Il restera une équation différentielle

ordinaire en q^Ug^ li'q , ou q jp ^^^ par laquelle on

déterminera la fonction n avec une constante arbitraire. L'équation /?=n^ étant ensuite intégrée, donnera une équation primitive avec une fonction arbitraire^ laquelle équation primitive caractérisera une famille de surfaces développables, jouissant de la propriété exprimée par la proposée.

Par exemple , l'équation du second ordre

{i'\rq*)r — tàpqs-\-{i'{-p^)t=iO ,

qui appartient aux surfaces pour lesquelles les deux courbures principales sont égales et de sens contraires [a8i], et dont l'aire est un minimum entre des limites données [Sgi], ne* comprend que les dérivées du premier et du second ordre, et elle est homogène en r, s, t. Si donc l'on cherche quelles sont,- parmi ces surfaces,

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RfiMARQIJKS SUR LES mX^GRALES SINGULliRES. 393

celles qui peuvent se développer sur uo plan , on sera conduit à Téquation

{i ^ q*) dp^-^zpqdpdq + {i'^p*) dq* =:0 . (4) Pour l'intégrer, on fera j9 =:/wgr-|-/i, w, /i désignant des cofistantes, et il viendra i ^-/;^^^-/^'=o, ce qui donne px=^ mq^{i 4-m')T v/~ . (5)

D'ailleurs les équations ^=a, q^=zb satisfont aussi à réquation (4)^^ conduisent à l'équation générale du plan

^ j8 =3ûa?4-i/-f-tf . (6)

En appliquant à l'équatiou (5) le procédé du n^ 536, on obtient une intégrale exprimée par le système

Mais il est impossible d'en tirer un résultat réel à moins de poser i-|-/w'=:o, <pa=:c,a — c, et alors on a simplement 2=c : solution moins générale que celle qui est donnée par l'équation (6), quoiqu'en apparence le système (7) ait une généralité plus grande, <i cause de la présence du signe de fonction arbitraire «p. Au reste, puisque les surfaces développablesont l'une de leurs courbures principales nulle, il est bien évident que l'autre doit s'évanouir aussi , pour satisfaire à l'une des propriétés géométriques exprimées par l'équation proposée; et qu'ainsi le plan seul, parmi les surfaces développables, peut fournir une solution réelle de cette équation.

* CHAPITRE IV

DE L INTiGRATIOir DES JÉQUATIOlfS AUX DlFFl^REirGES PARTIELLES PAR LES SÉRIES, ET EN PARTICULIER DE l'intégration DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES, ET A COEFFICIENTS CONS- TANTS.

549. Le chapitre précédent a mis en évidence rîmperfection des procédés par lesquels on détermine, sous forme finie , les intégrales des équations aux diflerences partielles d'un ordre supérieur au premier, dans les cas peu étendus où cette, détermination est possible. D'ailleurs le problème de l'intégration n'est effectivement résolu que lorsqu'on a déterminé, d'après les conditions propres à chaque question, et sans les restreindre, les fonctions arbftraires qui entrent dans la composition des intégrales; ce qui est souvent impossible, même lorsque le signe de fonction arbitraire ne porte que sur des quantités réelles , et à plus forte raison lorsque les procédés d'intégration ont fait arriver sous ce signe des quantités compliquées de facteurs imaginaires. Aussi, quand les progrès de la physique mathématique ont exigé que le calcul aux différences partielles fut cultivé dans un autre but que celui de caractériser et de classer des familles de surfaces ^ les géomètres ont dû essayer de résoudre d'une autre manière les' problèmes d'intégration qui s'offraient à eux; et il était naturel qu'ils

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IWTJïGRATICm PAR LES SÉRIBS. 395

recourussent d'abord au procédé le plus ordinaire de l'analyse , à celui du développement en séries.

En général, soit une équation aux différences partielles de l'ordre n entre la fonction u et les variables indépendantes x^y^ Zj t^ etc. Prenons une variable auxiliaire 6, composée d'une manière quelconque en XyjTj Zy ty etc.: on peut supposer la fonction u développée en sériée de la forme

M s=a 06» H- 0,e«' •+ 0>» + etc. ; (8)

de manière que les exposants a, forment une suite crois* santé ou décroissante de nombres constants, tandis que les coefficients 8i sont &%% fonctions inconnues de va- i riables indépendantes, en nombre inférieur au moins d'une unité à celui des variables donjt u dépend. % l'on substitue cette valeur de u dans l'équation proposée, que l'on ordonne le premier membre suivant les puissances de 6 , et qu'on égale séparément à zéro les coefficients de chaque terme du développement, on aura une suite infinie d'équations différentielles ou aux différences partielles, dont chacune renfermera une variable indépendante de moins que la proposée , et si l'on parvient à obtenir les valeurs les plus générales de 9„a,, propres à vérifier cette suite d'équations, la série (6j satisfera, aussi de la manière la plus générale, à l'équation proposée. En prenant successivement pour 6 chacune des variables Xy jr, 2, t, etc„ ou des fonctions, différentes de ces mêmes variables, on peut assigner à u plusieurs développements distincts : bien entendu que ces développements seront illusoires, toutes les fois qu'ils ne conduiront pas à des séries convergentes.

396 LIVRE vil. CHAPITRE IV.

moins renfermer des fonctions arbitraires en nombres inégaux, selon qu'on aura choisi pour 6 telle des variables indépendantes, ou telle fonction de ces mêmes variables. Le nombre des fonctions arbitraires qui entrent dans la composition de ces coefficients ne peut pas surpasser iiy mais il pourrait être moindre. Nous établirons ce principe d'une manière fort simple en traitant de la construction arithmétique des équations aux différences partielles, et il se vérifiera sur les exemples que nous discuterons dans ce chapitre.

550. Ce que nous venons de dire sur le développement en série par la méthode des coefficients indéterminés^ a pour but de donner à la théorip toute la généralité désirable; mais ordinairement il suffit de recourir pour le développement aux théorèmes de Taylor ou de Maclaurin. Le& exposants a< suivent alors la progression des nombres naturels. Soit^ par exemple, Téquation

du du ^ S'

la formule de Maclaurin donnera

t /'du\ t* /d'u^ t^ /d^u\ , .

f j: étant ce que devient la valeur de u quand on y fait

fczo, et{-7^j désignant la valeur de la dérivée -jy-

pour la même valeur particulière t=io. En vertu de l'équation proposée, on a

^^)=<l^) =''<£) =«V-, etc.,

INTÊGRA.TION PAR LES SEAIKS. 397

moyennant quoi la série (i) devient

M = çx H .ç\r H ,Yx-\ ^ .<p'"^H- etc.

Mai« le second mçmbre de cette équation n'est autre chose que le développement de la fonction ç(^-j-a^) suivant les puissances de at: on retrouve donc de cette manière l'intégrale sous forme finie-

telle qu'on l'aurait obtenue par la méthode du n^ SaS. L'équation proposée laisse la fonction ç arbitraire, comme cela doit être.

Nous aurions pu développer la fonction u par le théorème de Taylor, suivant les puissances de t — fo» en laissant la constante 4 indéterminée, de manière à éviter l'exception à laquelle est sujette la formule deMaclaurin, lorsque le développement de la fonction suivant les puissances entières et positives de la variable cesse d'être possible. 9«r désignerait alors la valeur de la fonction {^ qui correspond à la valeur particulière t=zt^. Mais, pour la plus grande simplicité des calculs, nous ferons toujours usage de la série de Maclaurin : il sera facile de substituer, si l'on veut, aux «développements obtenus, des développements ordonnés suivant les puissances de la variable, diminuée d'une constante arbitraire.