Passons à l'équation

du cfu .« .

en développant l'intégrale suivant les puissances de /, et en conservant les mêmes notations que ci-dessus, on aura

d'où

ii=:<px+ -.ç"j:H .ç'^xH ç.ç^'x-t-etc. (4)

On ne peut plus, comme tout à l'heure, revenir de la série à une intégrale sous forme finie , du moins de la nature de celles que nous avons rencontrées jusqu'ici; mais 9 toutes les fois que la série est convergente, elle détermine la valeur de u en fonction des variables indépendantes .r, t\ et cette valeur ne dépend que de la fonction arbitraire <p qui doit être assignée dans chaque cas particulier.

Par un procédé absolument semblable on trouverait pour la valeur de u^ développée suivant les puissances de .r,

Les fonctions ^t^ tiJi^ restent toutes deux arbitraires, et désignent respectivement ce que deviennent les valeurs

de w, -j-, quand on y fait x-=: o.

Pour montrer que fes intégrales (4)$ (5) rentrent Tune dans l'autre, quoique la première ne renferme que la fonction arbitraire ^x et ses dérivées, tandis que la seconde dépend des deux fonctions arbitraires ^ty 'àt^ M. Poisson développe les fonctions ip^, t;^^ suivant les puissances de tj et il pose en conséquence

t f ^ k=: A+B — l-C hD 5 + etc.

trf/=A'-hB'-4-C' — -hD— ^ + etc.

L'équation (5) devient alors

INTltCilATIONr PAR LES SÉRIES. 309