f(B + B'- + C— +C'-i,+ etc.) i^ I

-4- (C + C- 4- etc.) 4- etc.

Maintenant, si Ton désigne par ç^^ comme cela est

permis, la fonction arbitraire

A+A'-+B HB'-^ + C— f^— +etc.,

le second membre de Téquation précédente se confondra avec la série (4).

552. Le théorème de Maclaurin donne encore pour Tintégrale de l'équation

développée suivant les puissances de ty

j/=çtr+-. /(j^«trH • / j<fxdx*'\ 0/ / / Ç^2:</^+etc.,(7)

et sous cette forme l'intégrale ne semble dépendre que de la fonction arbitraire (fx qui représente la valeur de u pour ^ = 0. Mais il faut observer que chacune des intégrations, en nombre infini , indiquées dans le développement, introduit une^onstante arbitraire, et que le système de ces constantes, multipliées respectivement par des facteurs variables, équivaut à une autre fonction arbitraire. En effet Ton peut écrire :

f<^xdx^=i B -h A — h 9,07,

/r<px^^ = C + B - + A — + 93^, I I • 2

etc.,

A, B, C9 I>, etc. 9 désignant des constantes arbitraires, et (f^x, <f^x, o^x, etc., des fonctions qui s'évanouissent avec X. Par la substitution de ces valeurs dans la formule précédente, il vient :

Xt 3^1^ S(?^