t -h - . 4/,< 4- — . ^i^ H ^ . ^^4^ 4- etc

INTÉGRATION PAA LBS S£RJ£S. 401

Quand la constante A et le^fonctions 9,, ^, auront été assignées arbitrairement, toutes lés fonctions f,,^,) 939 ^31 etc., s'obtiendront par des quadratures. A est la valeur numérique de u pour le système de valeurs x=o, ^=0; A-j-Çx^F, A-|-J/x^ sont les valeurs de u en fonction de x et de tf qui correspondent, l'une à tero, l'autre à x=o, 553. Les équations aux différences partielles, traitées dans les n"* précédents , étaient linéaires : considérons maintenant l'équation (3) du n** 547,

/rf*z\* / d'z dz \f^^ * A

Km) ~Vd?'d^~^)\ji~ TT^j ~ "" '

à laquelle nous avons trouvé pour intégrale singulière ;8=(i+J7)97. (8).

Son intégrale générale, développée par la formule de Maclaurin suivant les puissances de x , est

H-etc. ;

et si on la développe suivant les puissances de j^, il vient

J3==yx4-- -+etc.; (0)

en sorte qu'elle dépend dans le premier cas des deux, fonctions arbitraires ^ , x;^ , et dans le second de la seule fonction arbitraire fj.

Si l'on considère l'intégrale , au point de vue géométrique , comme l'équation d'un ordre ou d'une famille de surfaces, on pourra dire que l'intégrale singulière (8) a autant d'étendue que l'intégrale générale donnée par la série (9) : car, pour particulariser l'équation (8), il faut se donner la courbe z = <p^ suivant laquelle la surface coupe le plan des ^2; et de même T. H. 216

402 UVfii: VII. — GBAPITBE IV.

pour particulariser l'équalion (9), il suffît de se donner la courbe z = yx qui est Tintersection de la surÊice avec le plan des xz. Les deui. équations caraotérisent donc deux familles distinctes de surfaces , dans chacune desquelles les surfaces individuelles sont déterminées par des conditions de même nature et en même nombre.

554. Le développement des intégrales en séries , par l'emploi des formules de Taylor ou de Madauriu , ou par la méthode plus générale des coefficients indéterminés, indiquée en premier lieu, mène pour l'ordinaire à des calculs pénibles ou même inextricables, lorsque l'équation qu'il s'agit d'intégrer n'est pas linéaire, ainsi qu'on en jugerait d'après l'exemple du n* précédent , si l'on voulait prolonger le développement au delà du troisième terme. Au contraire , le développement de l'intégrale en série prend une forme aussi simple que remarquable , lorsque l'équation aux différences partielles est linéaire, à trois variables indépendantes, à coefficients constants, et quand elle ne contient pas les variables indépendantes dans un dernier terme , indépendant de la fonction et de ses dérivées partielles.

Désignons en effet par u la fonction , et par x,t\es variables indépendantes : si l'on substitue dans l'équation proposée la valeur

ii = Céî«+P', (C)

C désignant une constante arbitraire et a, p des paramètres indéterminés^ l'exponentielle et la constante C qui la multiplie s'en iront comme facteurs communs : il restera une équation algébrique

à laquelle devront satisfaire les indéterminées cl^ p , pour que l'équation (C) soit une intégrale particulière de la

INTXGllATION PAR LKS SSlklBS. 403

proposée. Celle-ci , à cause de sa forme linéaire ^ sera donc satisfaite quand on y substituera pour u la somme d'un nonsbre infini de valeurs psarliculières telles (]ue (C), ou la série

C,d««'+*»' + Cd»**+»»' -h C,^»'+Pi' + «t€., que nous désignerons ordinairement , pour abréger , par

et dans laquelle il n'y aura d'arbitraires que les coefficients C, a; les nombres^ se trouvant détermines en fonction des nombres a, au moyen de l'équation (f ). 555. Appliquons ceci à l'équation linéaire du premier

ordre

du d» .

i'équatknu (f)aura la forme ^z^aoL^b ; de sorte qu'oa satisfait à la proposée en prenant

Pour t^= o j celte série donne

Soit donc <fx uue fonction telle que , si on la développait en série d'exponentielles [if 4}» on aurait

la valeur générale de 2£aera, sous forme finie,

comme cela résulte par un changement de lettres de la formule (3) du n* Sag. f^ fonction 9 reste arbitraire , à cause de l'indétermination des coefficients C, a : elle sera déterminée, si l'on assigne la valeur de u en fonction de X, pour ^=0.

Quand on fait é=o, on retombe sur l'équation (ri). En général , si l'on a une équation auic différences partielles de la forme

404 I-tVRE vu. CHAPITRE IV.

fa] désignant, pour abréger, un€ fonction linéaire des dérivées partielles de m, par rapport aux variables x,7, ^v- autres que t, où posera u=ife^% et Ton aura la transformée en <^