Soit l'équation du second ordre

l'équation (f ) devient p*=::a*a% d'où ces deux valeurs de p : p'=aa, p''=— «a. A chaque valeur de p correspondent deux séries distinctes, propres à vérifier la proposée, et qui en sont des intégrales particulières ; la somme de ces deux sériés compose l'intégrale générale

équivalente à l'intégrale sous forme finie

.u = ^{x + at)'^i/(x—at), (ii)

qui ne diffère que par le choix des lettres, de la formule

(a) du n** 539.

D'après, cette analyse, l'intégrale générale de la proposée doit s'obtenir sous forme finie et renfermer n fonctions arbitraires distinctes, lorsque f (a,p) se décompose en n facteurs linéaires p— (aa+i), et en partieulier lorsque la fonction f est homogène par rapport aux indéterminées a, P, ou lorsque l'équation linéaire aux différences partielles ne renferme que des différences partielles du même ordre [544].

Les deux fonctions arbitraires 9,1}; qui entrent dans Tintégrale (i 0> ^ déterminent sans difficulté lorsqu'on

INïiGRATIOir PAR LKS SÉKIKS. 405

assigne deux fonctions^, £1;,. dont. la première repré-

du di

sente la valeur de u et la seconde celle de -7- , pour t=o.

Effectivement, d'après ces données, on a

ffx + ifX=fx^ c'a:— tj;'ar=- .fo.

Par l'intégration de la seconde de ces équations, il vient

car— i|Ars=- / fcrctpcssFx+c,

Fx désignant une fonction connue de x, et c une constante arbitraire.

De là on tire <pa7=^(/ar + Far-|-£?), iju?=-^(/jc— Fjp — c), et par suite

M==i^[/(^+flr) +f{x—at) \'Y{x+at)—¥{x - ai)], . ( ca) la constante arbitraire c ayant disparu. 557. Reprenons l'équation déjà traitée du d^u

pour laquelle l'équation (f) se réduit à P=a*. Suivant qu'où se sert de cette équation pour chasser les coefficients ^ ou les coefficients a, on a les deux développements

Si l'on développe la série (i3) suivant les puissances de r, il vient

a = 2.Ce^H — ,2.Ca'e«-* .S.Ca^e^-f-etc.,

développement qui se confond avec la série (4), quand

on pose 2. C^=çx, la fonction arbitraire ffx désignant

toujours la valeur de m, pour t=o.

406 UVRF VII. CHAPITB£ IV.

On trottveniit de même , en dévdoppaot le second membre de l'équation (i4) suivant les puissances de X :

Si maintenant on pose

trf/=2.CVp>^' — X-Ci/^tf»"', on retombera sur la série (5). Ponr monU^er qae les deux fonctions ^^ri sont arbitraires et indépendantes l'une de Tautre, nous ferons

d'oïl

i|*^z=Vf-4-II/, (i5)

tïjr=v/— n/. (i6)

A la place de cette dernière équation l'on peut écrire

tSV=V/— ro, (17)

ni* étant une fonction qni dérive de ri par une opération inverse de celle au moyen de laquelle les fonctions 1^^,11^, dérivent respectivement des fonctions V, H ('). On tire des équatioiiB (i5) et (17) :

(«) De réquation l.Ce^'=:Y^ on tire

INTÉGRATION PAk LES SÉRIES. 407

en sorte (fue, quelles que soient les fonctions ^^%i qui peuvent être choisies arbitrairement, les fonctions W, n, et par suite les séries 2. Ce^\ ï.C V" se trouvent tou* jours déterminées.

Si l'on avait développé la série (i3) suivant les puissances de Xy on aurait eu

ii=z=2.Ctf*'' + -.2.Ca^*'H .2.CaV-f-etc.;

et ce développement coïncide encore avec la série (5) quand on pose

mais alors les deux fonctions ^, xi ne sont plus indépendantes : on a entre elles une relation qui, suivant la notation ci-dessus employée, s'exprimerait par Trf^=^/, ou vi^t=^t; ce qui revient aussi à supposer nulle la fonction n dans les équations (r 5) et (17). Couséquemment la série (i3) doit être considérée, ou comme l'intégrale générale de l'équation (3), ou simplement comme une intégrale particulière, selon que cette série est conçue

n désignant un nombre positif et entier quelconque. On peut écrire par analogie

dn et, en Vertu de cette notation , remplacer les équations (16) et (17) par les ittivantes :

d'^Cvt—nt) ^.x ^ ,1 dei -^

Le calcul des différentielles et des intégrales à incKoèS fractionnaires, admis comme une conséquence du défeloppement deè fonctions en séries d'exponentielles, est l'objet d'un mémoire important de M. Liouville, inséré dans le ai® cahier dn Journal de l'École polytechnique.

408 LIVKS vu. CHAPITRE IV.

ordonnée suivant les puissances de t ou suivant les puissauces de :r : ce qui revient à déterminer les paramètres arbitraires qu'elle renferme, au moyen de la valeur de u en fonction de x pour t=o,o\x au moyen des valeurs de

a et de -Y- en fonction de t pour x=o.

Nous ignorons si Ton a remarqué cette singulière propriété de certains développements, de représenter à la fois une intégrale générale et une intégrale particulière. Cette remarque contredit même l'assertion avancée par mégarde par M. Poisson (*), que l'on peut développer la série (i3) de manière à la rendre identique avec la série (5).