G — -zuftfxdx^ 2 . — p z=i£f(^dx*^ etc., ot oc

se trouvent aussi déterminés complètement; en sorte que

les constantes arbitraires qui entrent dans les intégrales

(*) Théorie dt la chaleur^ p. iSg.

IKTKGRATIOIf PAR LES SERIES. 409

ps^vdx^JJ<^dx^^ etc., sont elles-mêmes complètement déterminées. Par conséquent, la série (18) ne donne qu'une intégrale particulière de l'équation (6), et non pas une intégrale générale ou complète, comme ou le lit à la page 149 de l'ouvrage cité tout à l'heure. L'équation (6) serait également vérifiée si Ton prenait

ii== A sin (ow:+ ^t) -4- B cos {olx + ^t)^

pourvu qu'on eût entre les paramètres a,^ l'équation de condition a^-|-i=o. Donc on satisfera à Téquation (6) en posant

a=2J Asinf aa? J+BcosTaur j lî

mais ce ne sera encore qu'une intégrale particulière de la proposée ; et lors même qu'on écrirait

ii=:2,Asinra'd7. A+Z^^cosla^'x ^y

l'intégrale, ainsi qu'il est facile de s'en assurer, n'aurait pas plus de généralité.

559. En général, comme |es constantes arbitraires C, a, P peuvent être supposées imaginaires aussi bien que réelles, il est clair qu'à toute série d'exponentielles il est permis de substituer une série de sinus et de cosinus, et réciproquement. La nature du problème détermine la nature des fonctions qui doivent rester dans la solution finale, après qu'on a déterminé toutes les constantes artraires et fait évanouir les signes d'imaginarité.

Si l'équation (f ) était telle que les paramètres a, p ne pussent pas être réels en même temps, on serait par là même averti de la nécessité d'introduire dans la série des fonctions circulaires à la place de certaines exponentielles. Ce cas s'offrirait pour l'équation

410 LIVRB VU. CHAPITKE iV.

à laqaelie se réduit l'équation (lo) quand on donne à la constante a la valeur y^"^. On y satisfiiit en posant

u=2;.(A' sin ol'x + B' cos gt'x)^*'' + 2, (A" sin a"^ + B" oos a''jr)d— "'.

Désignons par j^ et par fjcz=-^. les valeurs de u cl de

du

— pour t=:= o : on aura