A*' sina^x^ B" cosa''j:)=^(/ar — Fjt — c

c indiquant une constante arbitraire; et quelles que soient les fonctions /^ F, mathématiques ou empiriques, pourvu qu'elles ne deviennent point infinies, on pourra, d'après les formules du chapitre XII du cinquième livre, déterminer tous les coefficients A',B',a'; A",B'>", de manière à satisfaire aux équations précédentes, au moins pour les valeurs de x comprises entre des limites données.

L'intégrale sous forme finie de l'équation (ig) serait, d'après la formule ( i !^),

F(a: + *|/C:7) — F(;r— ïl/ZIT)!

la caractéristique F ayant la même signification que dans les équations (ao); et cette intégrale devient illusoire, du moins pour le calcul numérique des valeurs de w, lorsque les fonctions /,F n'ont pas d'expressions algébriques dans lesquelles on puisse substituer les va-

INTIîGEATION PAR LI^S SERIES. 411

leurs x±i,{y^^ de manière à faire disparaître les signes d'imaginarité.

560. Les équations aux difTépences partielles, linéaires et à coefficients constants, s'appliquent surtout à des problèmes de mécanique et de physique mathématique, dans la résoltitton desquels il est permis de i>égiiger, à cause de leur petitesse, les produits et les puissances supërieimes de certaines quantités variables. Pour détenniner les fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales, il faut assigner les valeurs initiales de certaines fonctions dans Tétendue limitée d'un système matériel à une, deux ou trois dimensions : rien n'assujettit d'ailleurs ces fonctions à comporter une expression mathématique; elles doivent seulement, dans l'étendue du

.système matériel pour lequel elles sont données, conserver des valeurs déterminées et finies, parce qu'elles mesurent des grandeurs physiques, essentiellement finies et déterminées. Les formules du chapitre XII du cinquième livre, et toutes celles qui sont propres à représenter dans une étendue limitée une fonction quelconque, mathématique ou empirique, s'appliquent donc essentiellement au développement des intégrales des équations aux différences partielles, dans lesquelles les fonctions arbitraires doivent être déterminées d'après des données physiques. Au contraire, les développements en séries d'exponen-^ tielles ne sont applicables que quand les fonctions ar« bitraires initiales comportent une expression analytique; et alors, sauf l'exception résultant de la divergence des séries, ils représentent les fonctions développées pour toutes les valeu» possibles des variables.

561. L'équation la plus ample à laquelle on puisse appliquer ce que nous venons de dire sur la détermina «

412 LIVRE VII. CHJlPITRE IV.

tion des fonctions arbitraires d'après des données physiques, est l'équation des cordes vibrantes [SSg]

dans laquelle t désigne le temps, x l'abscisse d'un point de la corde en mouvement, u l'ordonnée de ce point qui serait nulle dans l'état de repos, et a un coefficient qui dépend de la tension, du poids et des dimensions de la corde. Les deux extrémités de la corde vibrante ayant pour abscisses x-=-o et a;=/, et ces deux extrémités

étant fixes, les valeurs de £/ et de ^ sont nulles pour

x=Q et j:=/, quel que soit t : à l'origine du mouyement, et pour les valeurs de x comprises entre o et /, on a

«=/r, -j-= £r, les fonctions /i: , £r étant assujetties à la condition d'avoir des valeurs finies et déterminées»

On satisfait à l'équation (21) en prenant

ii=:2(A sin cuU + B cos acur) sin ou:; (aa)

et si Ton pose

/ désignant un nombre entier quelconque, on satisfait à

la condition que les fonctions m, -j- s'évanouissent poui'

xz=io e!i pourx=/, quel que soit t. L'équation (22) devient

U'=^lé[ A sin —j — h B cos -j- J sm -j- 1

et il ne s'agit plus que de déterminer les coefScients A, B en fonction de l'indice L Pour indiquer cette dépendance, nous écrirons A„ B/ au lieu de A, B.

INTléGRATlON PAR LES SÉRIBS. 413

Or^ d'après les conditions exprimées, il vient