L'équation
du ^itu ,
qui se confond avec l'équation (3) quand on prend, pour plus de simplicité, a=i, a lieu entre la température u de la section droite d'une barre cylindrique homogène, le temps t et l'abscisse x de cette section, comptée de Tune des extrémités de la barre. On désigne par a un coefficient qui dépend de la conductibilité de la barre et de sa capacité pour la chaleur, par / la longueur de la barre ; et l'on prend pour zéro de l'échelle thermométrique la température (supposée constante) du milieu dans lequel elle est plongée. En conséquence il faut que, pour j2=o et oc=l^ on ait £/=o, quel que soit t. Il faut de plus que, pour £=o, u se réduise à une fonction fx^ arbitrairement donnée entre les limites 3c=Oy x=U^ et qui exprime l'état initial des températures de la barre.
On satisfait à l'équation (a4) P^r la série
c£ = 2. sin flLTtf-**"*'; (a5)
et si l'on prend, comme dans l'exemple précédent,
on aura teau compte des conditions qui se rapportent
414 LIVRE Vîï. CHAPITRE IV.
aux deux extrémités de la barre. Il suffira ensuite de faire
pour que la valeur de Uj qui répond à £=a, représente l'état initial des températures de la barre.
563. Dans les deux applications qui viennent d'être faites, on peut considérer les valeurs du paramètre a, données par la formule (23), comme les racines, en nombre infini, de l'équation transcendante sin a/==o: en général on a pour déterminer la série infinie des valeurs de a une équation transcendante, mais de forme plus compliquée et telle qu'on n'en peut déterminer que par tâtonnements les racines consécutives.
Supposons les mêmes données que dans le problème précédent, si ce n'est que la fonction u, au lieu d'âtre constamment nulle pour <r=:/, devra à cette limite, et pour toutes les valeurs de r, vérifier l'équation différentielle
du , , ^.
+ Aii = o. (a6)
Ce nouveau problème se rapporte à la détermination des températures d'une sphère homogène, plongée dans un milieu dont la température est constante, et primitivement échauffée de manière que tous les points à égale distance du centre aient la même température. La variable X désigne la distance d'un point au centre de la sphère; la fonction u est le produit de la température dn point dont il s'agit par la distance x\ lest le rayon de la sphère. La condition d'avoir 2/=o, pour x=Oy quel que soit t, résulte de ce que la température du centre ne peut pas devenir infinie [4^8] t ^ iVxistence
de réquation (a6), dans laquelle h exprime un coefficient constant, est une conséquence de la déperdition de chaleur qui s'opère, par rayonnement et par contact, à la surface de la sphère.
La valeur de u sera toujours donnée par la formule (îS) : mais en vertu de l'équation (26), les paramètres a devront être les racines de l'équation transcendante
a cos a/^+ h sin a/=o, (27)
Admettons qu'on ait calculé ces racines : il s'agit de déterminer les coefficients A de manière que, pour ^=0, M se réduise à une fonction /r. assignée arbitrairement entre les limites x=.o^ x=l. Voici la méthode donnée par M. Poisson pour effectuer cette détermination, et pour démontrer en même temps que l'équation (a^) ne comporte pas de racines imaginaires.
564. Multiplions par sin ttjxdx les deux membres de réquation (2/1), et intégrons entre les limites x=o^x==l:
il viendra
ri
-M-^ =«y;sin«.^^. (a8)
L'intégration par parties donne :
ri . d'u, {du . V fi du ^
Jo dx \dx Jo Jo dx ^
I cos aar -^ oo? = u cos aa: \ + a I i^ sin (ixdXy
d'où
ri . d^u, \da . V .C^ ' j
Jo dx* [dx Jo Jo
Pour x=Of on a m=o, sin oorrro; pour .r=/, on a, en vertu de l'équation (26),
-r- sin or — au cos our = — u(h sin a/H- a cos a/), dx
quantité nulle à cause^ de Téquation (27). En conséquence réquation (a8) se réduit à
d,j usmaxdx
—i^^î — î = — a*a'/ Il si
sin dxdx^
el elle a pour intégrale
Il sin OLxdx == C^-***'',
C désignant la valeur de
Il sin OLxdxy o
qui correspond à t=Oj c'est-à-dire l'intégrale fx. sin OLxdx,
On aura donc, par rélîmination de la constante C,
I usin axdx = «-•***' / fx . sin OLxdx. (îq)
Si nous substituons dans cette dernière équation la valeur de u en série, donnée par la formule (a5), il faudra, pour l'identité, qu'il ne reste dans le premier membre que le terme correspondant à la racine a employée dans le second membre. En conséquence, pour toute autre racine s, numériquement différente de a, on aura
/ sin ax sin a!xdx= Oj (3o;
et l'équation (29) donnera simplement
Al an* axdx =1 J'x.sin oLxdx,
ou bien, après la première intégration effectuée,
IWTÉOKATfON PAR LÉS SJSRIBS. 417
a/ — sin a/cosa/
d'où
a / fx . si
sinoo:^
M = 22 . -^ ; ; ^— sin or .d-**"^', f 3 1 )
a/— >sina/cosa^ ^ '
ce qui détermine complètement la valeur de m.
Il faut remarquer que, si a est une racine de l'équation (^7), — a en est une autre; mais on ne donnerait pas plus de généralité à la solution en tenant compte des racines négatives, puisque la somme de deux termes
Aj sin ar,e-«'«'' + A, sin ( — ûtr).e-«*«''
équivaut à
(Aj — A,) sin aar.«-«'«*'= A sin cuf.^-**"*',
le paramètre a ne devant plus recevoir maintenant que des valeurs positives.
565. Au moyen de l'équation (3o) on prouve, comme nous l'avons annoncé, que l'équation (27) n'admet point de racines imaginaires. Soit en effet a={jt.-|-v l/HT une racine imaginaire de l'équation (27) : Celle-ci aura une autre racine imaginaire conjuguée a'={jt. — ^v|/II7; et l'équation (3o) deviendra, après les transformations ordinaires,
i / [sin'fix(««^ + ^-*')'+cos*p?(e»*-^«^»*)*]rf:F===:o,
équation impossible^ puisque tous les éléments dé l'intégrale qui en constitue le premier membre sont essentiellement positifs.
On trouve en effectuant l'intégration :
' . . f . sin(a — (i')l sin(a + a')/ sm oursin aaYLr= ^ ^ ^ — - — ^
a'sina/cosa7 — asina7cosa/
= l^FI^' • (3=»)
Comme a, a' désignent des racines de l'équation (ay), le numérateur de cette dernière fraction est nul ; et l'on vérifie ainsi l'équation (3o), déjà démontrée par un raisonnement indépendant de la forme particulière de la fonction soumise au signe/i
Pour a-=a^ le dernier membre de l'équation (3îi) se présente sous la forme ^, et sa vraie valeur, trouvée par la méthode ordinaire, est
a/ — sina/coso/ ^i '
comme on l'a obtenue en calculant directement l'intégrale y^' sin ^oLxdx.
566. Faisons dans l'équation (3 r), ^^=:o : la fonction u devra se réduire kfx entre les limites x=o,x=i^ et l'oii aura, en remplaçant pour plus de netteté sous le signe d'intégcatioB la variable x par une variable auxiliaire ^,
/^=22.-*7-^ — ; r >.sina:r.
•^ eu — sm ail cos al
Ce sera une nouvelle formule de développement de la fonction fxj analogue à celles du chapitre XII dn cinquième livre, et aussi rigoureusement démontrée, quoique d'une manière indirecte. Les formules de cette espèce peuvent être indéfiniment multipliées comme les équations linéaires aux différences partielles auxquelles elles correspondent; maïs elles ne peuvent être erapbjées avec sécurité qu'après qu'on a établi rigourensement la convergence des- séries qu'elles engendrent.
INTÉGRATIOW PAR LES Sl^RIES. 41^
567. S'il y avait trois variables indépendantes x^y^t dans l'éqùation aux différences partielles y linéaires et à coefficients constants, on pourrait prendre pour intégrale particulière
et l'on aurait entre a, ^^y une équation de condition
qui laisserait deux de ces paramètres indéterminés. En conséquence on pourrait prendre pour intégrale générale
le double signe 22 indiquant qu'il faut combiner successivement toutes les valeurs possibles de a avec toutes les valeurs possibles de ^. La valeur précédente de u subirait des transformations analogues à celles qui ont été exposées dans le courant de ce chapitre, à propos du développement des fonctions de deux variables. Mais en général de tels développements, quand le nombre des variables indépendantes surpasse deux, sont inapplicables à cause de leur prolixité. Il faut substituer alors à l'emploi des séries infinies celui des intégrales définies, et cette substitution sera l'objet du chapitre suivant.
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* CHAPITRE V
DE l'iNTÉGRA^TION DES EQUATIONS LlNÉiilRES AUX DIF- FJÊRENGES PARTIELLES , PAR LE MOTEN DES I1VT<- GRALES DIÉFINIES.
