Nous avons trouvé [55 1] pour Tintëgrale de

l'équation

du d*u

dt dx la série

«==9^4--.©''^^ .9'^arH 5. ©"or Hh etc.: (2)

cette série à son tour est susceptible d'être sommée ou exprimée sous forme finie , par une intégrale définie. En effet, d'après les formules connues [4o3]

tf — »rfa> == v/« , {a) j e— *a>»M-'£fo) = o, (*)

r* , ,,. 1.3 y— « l'équation (2) prend la forme

, .- 1.3. 5... (21 — i) fs

l/^ir^— odL i-^ 1.2.3 ^

H- ^ =-^. ?'^^ + etc. er^diù

I /** ==—=./ 9(^ + 2wv/F)c-^dw. (3)

On aurait aussi

u = -^ • / ç(ar — 2<d|/'F)tf^*'Vft),

INTlÉGHATiON PAR LES IITTÉGRALBS DÉFINIES. 421

et par conséquent , •

En mettant l'expression sous cette forme, on voit mieux qu'elle s'applique aux valeurs négatives de t comme aux vaileurs positives : les termes* affectés d'imagiiiarité, pour t négatif, se détruisant mutuellement sous le signey*; et en effet rien n'empêche de donner à t des valeurs négatives dans la série (a) , d'où l'expression (3) est dérivée.

Celle-ci se tire encore très-simplement de la formule

car l'équation (a) donne, quand on y remplace îù par w — al/7,

/oo

d'oîi

I /** ef^^t,^ I C— »*'+-ata«l/'7rfû), (4)

et par suite

V^ic J — 00 formule qui coïncide avec (3) lorsqu'on remplace, comme cela est permis,

2 . Cc*(« -H ««W^D par <p(a: rh aw V^J). Pour l'emploi dé cette formule, la fonction 9, quoique arbitraire, doit cependant être supposée telle que le produit ç (x-|-2wl/7) ^'"** s'évanouisse pour ci)=±oo , quels que soient t et j;, afin que l'intégrale conserve toujours une valeur finie. Au moyen de cette restriction on peut reconnaître , par un. calcul direct , que l'équation (3) satisfait à la proposée.

(tu dxdt

(tlL