Passons à l'équation
du €t*li ^o\
di — d?' ^^^
en développant l'intégrale suivant les puissances de /, et en conservant les mêmes notations que ci-dessus , on aura
39i8 LIVRE vu. CHAPITRE IV.
d'où
u=(fx+ - . (fx H . ç'^x H 5 . ç^* x+elc. (4)
On ne peut plus, comme tout à l'heure, revenir de la série à une intégrale sous forme finie, du moins de la nature de celles que nous avons rencontrées jusqu'ici; mais, toutes les fois que la série est convergente, elle détermine la valeur de u en fonction des variables indépendantes .r, t\ et cette valeur ne dépend nue de la fonction arbitraire ? qui doit être assignée dans chaque cas particulier.
Par un procédé absolument semblable on trouverait pour la valeur de u^ développée suivant les puissances
de .r,
tt=^^+-.t^H .^'r-l ^.xrf'^H ^-7.4'''^+etc.(5)
Les fonctions <];^, 'tàt restent toutes deux arbitraires, et désignent respectivement ce que deviennent les valeurs
de Uj —y quand on y fait x= o.
Pour montrer que les intégrales (4)^(5) rentrent Tune dans l'autre, quoique la première ne renferme que la fonction arbitraire ^x et ses dérivées, tandis que la seconde dépend des deux fonctions arbitraires 4*^, "rf/, M. Poisson développe les fonctions i^t^ x^t suivant les puissances de ^, et il pose en conséquence
k==: A + B - + C h D 4- etc.
t;5/=A' + B'--f-C' — +D'~Η +etc.
L'équation (5) devient alors
M = A + A'-H-B-^ — hB'-^-^ + C — ^T-7+ etc.
+ (C + C- + etc.) + etc.
Maintenant, si l'on désigne par f^x, comme cela est lermis, la fonction arbitraire
A + A'-4-B hB' 5^ + C -+etc.,
e second membre de Téquation précédente se confondra ivec la série (4).
552. Le théorème de Maclaurin donne encore pour 'intégrale de l'équation
léveloppée -suivant les puissances de ty
^t sous cette forme l'intégrale ne semble dépendre que le la fonction arbitraire (fx qui représente la valeur de i pour tz=zo. Mais il faut observer que chacune des ntégrations, en nombre infini , indiquées dans le dévcoppement, introduit une constante arbitraire, et que le ystème de ces constantes, multipliées respectivement )ar des facteurs variables, équivaut à une autre fonction irbitraire. En effet l'on peut écrire :
yç^râflr = B + A - + 9aJ:,
Jjfffxdx* = C + B - + A h 93^,
X l » A X.wSccI
etc.,
A, B, Cy Dy etc. y désignant des constantes arbitraires, et <f^Xf (f^x, Ç3X, etc. , des fonctions qui s'évanouissent avec X. Par la substitution de ces valeurs dans la formule précédente, il vient :
^, xt x^e a^^ . .
-I- o,d: 4- - .ç,arH . ^^x -| 5 •94^:+ etc.
+ B — hC hD o-+-«ic-
-4 (B 5-f-C 0--7+I* o . ^ » etc.
+ etc.
Or, si Ton pose
B - + C — -+. D 5 -f. etc. = A/,
on aum
oto.^
do nuniort* que les fonctions i,^ Ç/, y^, etc., s'évauvHÙî^^ent tout«^ Avtv / ; et Ton donnera au développe meut de rintoi^raîe la tonne svnieîrîque
a— A 14- .^-+- ^-! jr;4-etc,:
-h i/ ^- . ' -* • .i.X + etc.
IlfTBGRATlOBr PAR I«ES SÉRIES. 401
Quand la constante A et les fonctions 9., ^, auront été assignées arbitrairement, toutes les fonctions 9,, <{;,, fai^'s^ ^^^^ s'obtiendront par des quadratures. A tst la valeur numérique de u pour le système de valeurs .r=o^ ^=0; A-j-ÇjjT, A-|-^i/ sont les valeurs de u en fonction de x et de t, qui correspondent, l'une à £=0^ l'autre à x=o, 553. Les équations aux différences partielles, traitées dans les n^ précédents^ étaient linéaires : considérons maintenant l'équation (3) du n"* 5479
f^\ ( rf|f dz \fdz^ * ^
à laquelle nous avons trouvé pour intégrale singulière
J5r=:(H-ar)97. (8)
Son intégrale générale, développée par la formule de Maclaurin suivant les puissances de .r , est
-4-etc. ;
et si on la développe suivant les puissances de^, il vient
z==Yd?+-^ ^^ --4-etc.; (g)
en sorte qu'elle dépend dans ie premier cas des deux fonctions arbitraires ^ , xii , et dans le second de la seule fonction arbitraire ^.
Si l'on considère l'intégrale , au point de vue géométrique, comme l'équation d'un ordre ou d'une famille de surfaces, on pourra dire que l'intégrale singulière (8) a autant d'étendue que l'intégrale générale donnée par la série (9) : car, pour particulariser l'équatioD (8), il faut se donner la courbe z=<p^ suivant lÉq[lielle la surface coupe le plan des^z; et de même
T. II. îi6
402 LIVRE vif. GHAPITBE IV.
pour particulariser Téquation (9), il suffît de se donner la courbe z = yx qui est Tintersection de la surfiice avec le plan des xz. Les deux équations caractérisent donc deux familles distinctes de surfaces, dans chacune desquelles les surfaces individuelles sont déterminées par des conditions de même nature et en même nombre. 554. Le développement des intégrales en séries , par l'emploi des formules de Taylor ou de Maclauriu , ou par la méthode plus générale des coefficients indéterminés, indiquée en premier lieu, mène pour l'ordinaire à des calculs pénibles ou même inextricables, lorsque l'équation qu'il s'agit d'intégrer n'est pas linéaire, ainsi qu'on en jugerait d'après l'exemple du n"* précédent , si l'on voulait prolonger le développement au delà du troisième terme. Au contraire , le développement de l'intégrale en série prend une forme aussi simple que remarquable , lorsque l'équation aux différences partielles est linéaire , à trois variables indépendantes , à coefficients constants, et quand elle ne contient pas les variables indépendantes dans un dernier terme , indépendant de la fonction et de ses dérivées partielles.
Désignons en effet par u la fonction , et par .r , / les variables indépendantes : si l'on substitue dans l'équation proposée la valeur
u = Ce«+P', (C)
C désignant une constante arbitraire et a, p des pai-amètres indéterminés^ l'exponentielle et la constante C qui la multiplie s'en iront comme facteurs communs : il restera une équation algébrique
à laquelle devront satisfaire les indéterminées a, p, pour que l'équation (C) soit une intégrale particulière delà
INTÉGRATIOrr PAR LES SERIES. 403
proposée. Celle-ci, à cause de sa forme linéaire, sera
donc satisfaite quand on y substituera pour u la somme
d'un nombre infini de valeurs particulières telles que
(C), ou la série
C,tf^'-H.' 4- C,tf— -H.' + Ctf-^'+P^' -^ etc.,
que nous désignerons ordinairement, pour abréger, par
2.0*+?', et dans laquelle il n'y aura d'arbitraires que les coefficients C, a; les nombres P se trouvant détermipés en fonction des nombres a, au moyen de l'équation (f). 555., Appliquons ceci à l'équation linéaire du premier
ordre
du du , -r- = il — -f- ou :
dt dx^
l'équation (f ) aura la forme Pz=zaa-^& ; de sorte qu'on satisfait à la proposée en prenant
Pour f = o , celte série donne
Soit donc ffx une fonction telle que, si on la développait en série d'exponentielles [ 114]» on aurait
la valeur générale de u sera , sous forme finie ,
comme cela résulte par un changement de lettres de la formule (3) du n° 629. Ija fonction 9 reste arbitraire, à cause de l'indéterminajtion des coefficients C, a : elle sera déterminée, si Ton assigne la valeur de u en fonction de X, pour ^=0.
Quand on fait é=o, on retombe sur l'équation {1). En général , si l'on a une équation aux différences partielles de la forme
• 404 UWMM VII. — CHAFFIM If*
[u] désignant ^ pour abréger, une fonctioQ linéaire dtt dérivées partielles de a, par rapport aux variabki x^j'f Zj... autres que if on posera u=:pue^% et l'on sort la transformée en i'
,55Q. Soit l'équation du second ordre
Féquation (f ) devient p*=aV) d'où ces deux valeurs de 0 : y — ^ffgj p''=— oa. À chaque valeur de ^ correipondent deux séries distinctes, propres à vérifier la proposée,, et qui en sont des intégrales particulières : b somme de oes deux séries compose rinté^^e ||é-
nérale
iis=,S.Ç'4^H^)H.S.C'^<'-^,
équivalente à l'intégrale sous forme finie
tt = ç(a:4-ar) + ^{^ — «/), (ii)
qui ne diffère que par le choix des lettres^ de la formule (a) du n** 539.
D'après cette analyse, l'intégrale générale de la proposée doit s'obtenir sous forme finie et renfermer n fonctions arbitraires distinctes, lorsque f (a,^) se décompose en n facteurs linéaires p — (aa-|-è), et en particulier lorsque la fonction f est homogène par rapport" aux indéterminées a, p, ou lorsque Téquation linéaire aux différences partielles ne renferme que des différences partielles du même ordre [544]*
Les deux fonctions arbitraires ^j^ qui entrent daa:> rintegrale (1 1), se déterminent sans difficulté lorsqu'on
IffTiGRATIOir PAR LES SÉRIES. 405
assigne deux fonctions ^r, &:, dont la première représente la valeur de u et la seconde celle de --=- , pour t=io.
Effectivement, d'après ces données, on a
çar-|-<jar=yj?, (f'x — <]/a: = - . f;r.
Par l'intégration de la seconde de ces équations, il vient
Fx désignant une fonction connue de x, et c une constante arbitraire.
De là on tire Çlr=i(/a^ + Fx-^£?), <|u?==7(/;r-- Fa; — c), et par suite
u=»i[/{x-+'at) +/{a:—at) ^F{x+at)—F{x — at)], ( la) la constante arbitraire c ayant disparu. 557. Reprenons l'équation déjà traitée
du d'à
pour laquelle l'équation (f) se réduit à p=:a*. Suivant qu'on se sert de cette équation pour chasser les coefficients P ou les coefficients a, on a les deux développements
a=S.Ce^+«% (i3)
Si l'on développe la série (i3) suivant les puissances de f, il vient
tt = 2.C^-1 — .2.Ca'6^H .2.CaV*-f-etc.,
développement qui se confond avec la série (4)^ quand
on pose 2. C^=(pa;, la fonction arbitraire fj; désignant
toujours la valeur de Uy pour ^=0.
406 LlvàK VII. CHAPIT&K IV.
On trouverait de même, ea dévieloppant le second membre de l'équation (i4) suivant les puissances de X :
+ - . (2. CVfP^— 2. C"v/|ï^*^"0
Si maintenant on pose
'tàt—'L. C Vp'tfP'' — 2 . C l/p!?tfP"S on retombera sur la série (5). Pour montrer que les deux fonctions ^^'tà sont arbitraires et indépendantes l'une de l'autre, nous ferons
