CcP'= V^, 2. Cd^' = m, d'où

tj^=vf+m, (i5)

trf^=V;— n/. (i6)

A la place de cette dernière équation l'on peut écrire

xjj" étant une fonction qui dérive de xj par une opération inverse de celle au moyen de laquelle les fonctions V„ 11^, dérivent respectivement des fonctions W,^ (')• ^^" **''^* des équations (i 5) et (17) :

(*) De Téquation X.CeP'' = vr on tire

iNTiGfiATlON VAA LES SJéBlIiS. 407

en sorte que, quelles que soient les fonotioos ^jXi qui peuY^it être choisies arbitrairement, les fonctions H!*,n, et par suite les séries 2. CV, 2.CV' se trouvent toujours déterminées.

Si Ton avait développé la série (i3) suivant les puissances de X, on aurait eu

« = 2.0*' + -.2.Cae*''H .£.CaV*'-hetc.;

et ce développement coïncide encore avec la série (5) quand on pose

mais alors les deux fonctions ^,vi ne sont plus indépendantes : on a entre elles une relation qui, suivant la notation ci-dessus employée, s'exprimerait par t;;j/=<|//, ou X!i^ù=^t; ce qui revient aussi à supposer nulle la fonction n dans les équations (i 5) et (17). Ck>nséquemment la série (i3) doit être considérée, ou comme l'intégrale générale de l'équation (3), ou simplement comme une intégrale particulière, selon que cette série est conçue

n désignant un nombre positif et entier quelconque. On peut écrire par analogie

et, en vertu de cette notation , remplacer les équations (16) et (17) par les suivantes :

l.e calcul des diffërentielles et des intégrales à indices fractionnaires , admis comme une conséquence du développement des fondions en séries d'exponentielles, est l'objet d'un mémoire important de M. Liouville, inséré dans le ai* cahier du Journal de l'École jmiytechnique.

408 LIVKS VII. — T CHAPITRB IV.

ordonnée suivant les puissances de / ou suivant les puissances de 2? : ce qui revient à dëterminer les paramètres arbitraires qu'elle renferme, au moyen de la valeur de u en fonction de x pour t=o, ou au moyen des valeurs de

a et de -T- en fonction de t pour x=:o.

Nous Ignorons si Ton a remarqué cette singulière propriété de certains développements, de représenter à la fois une intégrale générale et une intégrale particulière. Cette remarque contredit même Tassertion avancée par mégarde par M. Poisson ('), que Ton peut développer la série ( 1 3) de manière à la rendre identique avec la série (5).