CHAPITRE IV

DE l'iNTÉGRATIOIC DKS ÉQUATIOICS aux. DIFFERENCES PARTIELLES PAR LES SÉRIES, ET EN PARTICULIER D£ l'intégration DES ÉQUATIONS LINÉAIRES , A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES, ET A COEFFICIENTS CONS- TANTS.

549. Le chapitre précédent a mis en évidence l'imperfection des procédés par lesquels on détermine, sous forme finie, les intégrales des équations aux différences partielles d'un ordre supérieur au premier, dans les cas peu étendus où cette détermination est possible. D'ailleurs le problème de l'intégration n'est efTectivement résolu que lorsqu'on a déterminé, d'après les conditions propres à chaque question, et sans les restreindre, les fonctions arbitraires qui entrent dans la composition (les intégrales; ce qui est souvent impossible, même lorsque le signe de fonction arbitraire ne porte que sur <Ies quantités réelles , et à plus forte raison lorsque les procédés d'intégration ont fait arriver sous ce signe des quantités compliquées de facteurs imaginaires. Aussi, quand les progrès de la physique mathématique ont exigé que le calcul aux différences partielles fût cultivé dans un autre but que celui de caractériser et de classée <les familles de surfaces, les géomètres ont dû essayer <le résoudre d'une autre manière les problèmes d'intégration qui s'offraient à eux; et il était naturel qu'ils

iirrÉGRATioir par lks sekiës. 395

recourussent d'abord au procédé le plus ordinaire de l'analyse , à celui du développement en séries.

En général, soit une équation aux différences partielles de Tordre n entre la fonction u et les variables indépendantes x^y^ z^ tj etc. Prenons une variable auxiliaire 0, composée d'une manière quelconque en x^j'^ Zy ty etc.: on peut supposer la fonction u développée en série de la forme

a = 0ft» H- 0,e*' -f- 0,9»» 4- etc. ; (6)

de manière que les exposants oli forment une suite croissante ou décroissante de nombres constants, tandis que les coefficients 9, sont des fonctions inconnues de variables indépendantes, en nombre inférieur au moins d'une unité à celui des variables dont u dépend. Si Ton substitue cette valeur de u dans l'équation proposée, que l'on ordonne le premier membre suivant les puissances de 0 , et qu'on égale séparément à zéro les coefficients de chaque terme du développement, on aura une suite infinie d'équations différentielles ou aux différences partielles, dont chacune renfermera une variable indépendante de moins que la proposée ^ et si l'on parvient à obtenir les valeurs les plus générales de 9,-, a,-, propres à vérifier cette suite d'équations, la se-» rie (6j satisfera^ aussi de la manière la plus générale, «^ l'équation proposée. En prenant successivement pour h, chacune des variables x, y, z, t, etc„ ou des fonctionsi différentes de ces mêmes variables, on peut assigner à u plusieurs développements distincts : bien entendu que ces développements seront illusoires, toutes tes fois qu'ils ne conduiront pas à des séries convergentes.

Dans ces divers développements, les coefficients 0„ déterminés de la manière la plus générale^ pourront néan-

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moins renfermer des fonctions arbitraires en nombres inégaux, selon qu'on aura choisi pour 6 telle des variables indépendantes, ou telle fonction de ces mêmes variables. Le nombre des fonctions arbitraires qui entrent dans la composition de ces coefficients ne peut pas surpasser Hy mais il pourrait être moindre. Nous établirons ce principe d'une manière fort simple en traitant de la construction arithmétique des équations aux différences partielles, et il se vérifiera sur les exemples que nous discuterons dans ce chapitre.

550. Ce que nous venons de dire sur le développement en série par la méthode des coefficients indéterminés, a pour but de donner à la théorie toute la généralité désirable; mais ordinairement il suffit de recourir pour le développement aux théorèmes de Taylor ou de Maclaurin. Les exposants a^ suivent alors la progression des nombres naturels. Soit, par exemple, Téquation

du du ^ S'

la formule de Maclaurin donnera

t /du\ t* /'d'u\ t^ /"d^u\ ,

(fx étant ce que devient la valeur de u quand on y fait frzzo, et[-j-T) désignant la valeur de la dérivée -y^

pour la même valeur particulière t=o. En vertu de Fequation proposée, on a

/'d'u\ /" d^u\ rd'u\

INTÉGRA.TION PAA LfiS SERIES. 397

moyennant quoi la série (i) devient

Mais le second membre de cette équation n'est autre chose que le développement de la fonction ç(a:-|-ai^) suivant les puissances de at : on retrouve donc de cette manière l'intégrale sous forme finie

a=:(p(j7+af), (2)

telle qu'on l'aurait obtenue par la méthode du n^ 528. L'équatioD proposée laisse la fonction ç arbitraire^ comme cela doit être.

Nous aurions pu développer la fonction u par le théorème de Taylor, suivant les puissances de t — to^ en laissant la constante t^ iudéterminée, de manière à éviter lexception à laquelle est sujette la formule deMaclaurin, lorsque le développement de la fonction suivant les puissances entières et positives de la variable cesse d'être possible, f X désignerait alors la valeur de la fonction u qui correspond à la valeur particulière t=to. Mais, pour la plus grande simplicité des calculs, nous ferons toujours usage de la série de Maclaurin : il sera facile de substituer^ si l'on veut, aux développements obtenus, des développements ordonnés suivant les puissances de la variable, diminuée d'une constante arbitraire.