C — z=zf<fxdx^ 2. —7- =#9^^% etc

se trouvent aussi déterminés complètement; en sorte que les constantes arbitraires qui entrent dans les intégrales

(') Théorie de la chaleur, p. 139,

INT£6RATIOir PAR LES SÉRIES. 409

Jffxdx^JJ^dx^^ etc., sont elles-mêmes complètement déterminées. Par conséquent, la série (18) ne donne qu^une intégrale particulière de l'équation (6), et non pas une intégrale générale ou complète, comme on le lit à la page 149 de l'ouvrage cité tout à l'heure. L'équation (6) serait également vérifiée si l'on prenait

tts=3A sin(owrH- P^) -h B cos (oar -|- P^),

pourvu qu'on eût entre les paramètres a,^ l'équation de condition aP-j"i==o. Donc on satisfera à Téquation (6) en posant

a=:2 KsvàioLX j+ B cosT our j j î

mais ce ne sera encore qu'une intégrale particulière de la proposée ; et lors même qu'on écrirait

a^sS.Âsinf a'd? ■A-^'L.^cosicCx j j?

l'intégrale, ainsi qu'il est facile de s'en assurer, n'aurait pas plus de généralité.

559. En général, comme les constantes arbitraires C, a, P peuvent être supposées imaginaires aussi bien que réelles, il est clair qu'à toute série d'exponentielles il est permis de substituer une série de sinus et de cosinus, et réciproquement. La nature du problème détermine la nature des fonctions qui doivent rester dans la solution finale, après qu'on a déterminé toutes les constantes artraires et fait évanouir les signes d'imaginarité.

Si l'équation (f) était telle que lés paramètres a,p ne passent pas être réels en même temps, on serait parla même averti de la nécessité d'introduire dans la série des fonctions circulaires à la place de certaines expor aentielles. Ce cas s'offrirait pour l'équation

4|U LIVRE Vil. CHAPITRE JV.

à laquelle se réduit l'équation (lo) quand oa donne à la constante a ta valeur l/^T. On y satia&it en posant

u^X.(A'sînct'x + B'co» a.'x)^'' + S.(A'sine(''*r+ B* cos ix.'x)e~''"'.

Désignons ^wjk et par £r= y^les valeurs de u et de

du

-T- pour ï= o : on aura

2.(A'9ma'j:+B'coi«';r)=ï(/j:4-F* + c), I, , 2.(A'sina'':r+B'cosa'x):=-i(/i — Fjt — c), j ^"'

(■ indiquant une constante arbitraire; et quelles que soient les fouctions^^ F, mathématiques ou empiriques, pourvu qu'elles ne deviennent point infinies, on poum, d'après les formules du chapitre XII du cinquième livn^ déterminer tous les coefficients A'jB'ja'; A^B",»", Ae manière à satis&îre aux équations précédentes, an moins pour les valeurs de x comprises entre des limites (Ion nées.

L'intégrale sous forme finie de l'équation (^19) serait, d'après la formule (1 a).

+ (1/^) — F(.f — fi/=7)1

la caractéristique F ayant la même signification que (tans les équations (ao); et cette intégrale devient illusoire, du moins pour le calciU numérique des valeurs de », brsqoe kft fouMâpw/.F n'ont pas d'expressions ;tlgebrique»^M4lMl4^ ^^isse substituer les «■■

leurs xzht\//^^j de manière à faire disparaître les signes d'imaginarité.

560. Les équations aux différences partielles, linéaires et à coefficients constants, s'appliquent surtout à des problèmes de mécanique et de physique mathématique, dans la résolution desquels il est permis de négliger, h cause de leur petitesse, les produits et les puissances supérieures de certaines quantités variables. Pour détenniner les fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales, il faut assigner les valeurs initiales dé certaines fonctions dans Tétendue limitée d'un système matériel à une, deux ou trois dimensions : rien n'assujettit d'ailleurs ces fonctions à comporter une expression mathématique; elles doivent seulement, dans l'étendue du système matériel pour lequel elles sont données, conserver des valeurs déterminées et finies, parce qu'elles mesurent des grandeurs physiques, essentiellement finies et déter-^ minées. Les formules du chapitre XII du cinquième livre, et toutes celles qui sont propres à représenter dans une étendue limitée une fonction quelconque, mathématique ou empirique, s'appliquent donc essentiellement au développement des intégrales des équations aux différences partielles, dans lesquelles les fonctions arbitraires doivent être déterminées d'après des données physiques. Aa contraire, les développements en séries d'exponentielles ne sont applicables que quand les fonctions arbitraires initiales comportent une expression analytique; et alors, sauf l'exception résultant de la divergence des , ils représentent les fonctions développées pour Jes valeurs possibles des variables, il) 561.. L'équation la plus simple à laquelle on puisse — "[dique^ œ que nous venons de dire sur la détermina*

tion des fonctions arbitraires d'après des données physiques, est l'équation des cordes vibrantes [539]

de^"" d^'

dans laquelle / désigne le temps, j: Tabscisse d'un point de la corde en mouvement, ii l'ordonnée de ce point qui serait nulle dans l'état de repos, et a un coefficient qui dépend de la tension, du poids et des dimensions de la corde. Les deux extrémités de la corde vibrante ayant pour abscisses ^=o et ^=/, et ces deux extrémités

étant fixes, les valeurs de ii et de -^ sont nulles pour

dt

X — o et ar=/, quel que soit t : à l'origine du niouvement, et pour les valeurs de x comprises entre o et /, on a

u =/xj — = £r , les fonctions fx , tx étant assujet-

ties à la condition d'avoir des valeurs finies et déterminées.

On satisfait à l'équation (ai) en prenant

ii=3X(A sin aoU + B cos aoU) sin ax; {22)

et si l'on pose

I désignant un nombre entier quelconque, on satisfait à la condition que les fonctions 11, -j- s'évanouissent pour

.r=:o et pourx:=/, quel que soit L L'équation (22) devient

i/ = 2f Asm — j — h Bcos -7— J sm — r-»

et il ne s'agit plus que de déterminer les coefficients A, B en fonction de l'indice 1. Pour indiquer cette dépendaooei m Bi au lieu de A, B.

INTÉ6EAT10N PAR LES SlîRIES. . 413

Or, d'après les conditions exprimées, il vient

. «car ^ hca . . iiça: ^