Considérons en dernier lieu l'équation
dt- ' dx^ '
qui se rapporte à la propagation des vibrations transversales d'une verge élastique, dont nous supposerons la longueur indéfinie de part et d'autre du centre de l'ébranlement primitif. On admet toujours que l'on doiC
avoir u-=fx et ^ =fa; pour /=o.
La proposée est satisfaite par la valeur particulière
a = A cosa*^z^cos«(^ — ?) :
donc , un calcul entièrement semblable à ceux qui précèdent donnera pour l'intégrale complète :
w== — / / cos a*a^cos dix — ç)y^«Krfa
La première partie de la valeur de u se ramène à une intégrale définie simple; car, d'après la première équation (/*) du n** 409, on a
cos oL^at cos atf^x — \)djcL
=Kâ)'+''-(^T]v/S'
et si l'on pose en conséquence
Js=x:ar+ 2Cx>i/S, (12)
la première partie de la valeur de u prendra la forme
432 LIVRE Vil. CHAPITRE V.
m I (sin ti>*4- cos «*)y(jr -f- ^<ùV^at)dfa.
Donc, si la fonction ïx est nulle, ou si les molécules de la verge élastique ont été écartées à l'origine de leurs positions d'équilibre, sans recevoir de vitesses initiales dans les plans perpendiculaires à l'axe de la verge, on aura simplement
u = / (sin («>*+ cos iù^)f{œ + ^(ù\/ai)d(ùj
formule remarquable par son analogie avec l'équation
Pour les plaques vibrantes, de même élasticité en tous sens^ l'équation des vibrations normales est d'à ^(d^u df'u d^u\
Admettons qu'à l'origine du temps la fonction u se réduise à/'(^,^) et que la fonction -7- soit nulle : on ex-
Cm
primera la valeur de u par l'intégrale quadruple
""^i^IIIh
cos (a» -f- f ») at C08 a.{x — Ç) cos p(r — *»)/(? y-ii)J^ànd<t.d!^.
L'intégrale double
/jf cos («' + p')a<cos a(x — 5) cos p(7 — vi)rfa</p
——to
[co« a»tf /COS P»a/— sin a^atm p»af]cos a(a:— -Ç) cos^x—'n)da. d^ (i 3)
peut être obtenue ; car, si l'on effectue d'abord l'intégration relative à a , en employant les formules (y ) du n® 409? on trouve
IHTiSgRATION par les intégrales DEF1NIE3. 433
[cos a^at cos ^at — sin ti?at sin ^at\ cos a(x — Ç)rfa
=Y/ -^- 1 cosP*/if sinf -^ + w' J — sin P'a^sinT - — W j ?
«d ayant la valeur donnée par l'équation (ii^). Ainsi l'intégrale ( 1 3) devient
r/ — «sinf --4-0)' j/ cos ^*â^ cos P(j — 'Vi^P
— Y/ — «sinT-^ + w* j/ sinP*a^cosP(7 — vi)rfp.
Mais, dans cette dernière expression, les intégrations relatives à ^ s'effectuent de la même manière, et si l'on pose
il vient pour la valeur de l'intégrale (i3) l[8in(^-)si„Q+a>'-)^inQ-<o')sinQ a.")]
= — sin(<rt'-f-w'').
at ^ ^
Donc la valeur de u prend cette forme aussi simple qu'élégante ,
%*»»>%« »«w*«*»«w»»f^<*»»**»»< »**^»» '■*""-f ~*'"*"~~~^"n**'~~t 1 VT — niiin->i-|f>»»»>Wii>imiiii
