PARTIELLES

575. Considérons d'abord Téquation aux diffërenoes partielles da premier ordre et à tt^is yariabks

%ïr5^^Plî) = o» ou q=f{a!,]rthP\ W et soit fj? la valeur de z eo fouetioa de x qi^ni) la variable/ est nulle : on aura, pour/t=o,

q =/(«! o. <pa?, çx), ou jg^ c= *«.

P^r conséquent, si la fonction .4ar reste finie pour toute: Isa valeurs de\r, et si fy désigne ikné quantité frès-potite du premier ordre , on iiura,tiuz. quantités près aux second ordre, ^z=:!il^xAjr; de sorte que, à ce degré d'approximation ,

z == ça: + ^x • Aj == ç ^ jî

est l'expression, en fonction de Xj de la valeur de z qui répond à p=Ay. On déterminerait de même l'expression z=.tf^ qui répond }ij=L*i^jr^ et ainsi indéfiniment.

Concevons que x^/yZ désignent les trois coordonnées rectangulaires d'une surface :

» = <pa: {b)

sera l'équation de la ligne d'intersection de la surface avec le plan xz. Le plan tangent à la surface suivant cette ligne aura pour trace en xz la tangente à la courbe {b). En vertu de cette condition et de l'équation (â), la dir«v*>' at se trouve complètement

CONSTRUCTION 1>ES ÉQUAT. AUX DJFF. PARTIELLES. 435

déterminée pour chaque valeur de a:; en sorte qu ou peut tracer dans l'espace la surface cylindrique qui enveloppe, suivant la courbe arbitraire (é) , la surface qu'il s'agit de construire au moyen de l'équation (a). Si l'on coupe la surface enveloppe par un plan parallèle à celui des xZf et dont la distance à ce plan est une quantité très-petite du premier ordre, l'ordonnée de la section de l'enveloppe ne diffère que par une quantité trèspetite du second ordre, de l'ordonnée de la trace de l'enveloppée sur le même plan : la section de l'enveloppe peut donc être prise pour la ligne de contact de la surface avec une seconde enveloppe que l'on construira comme la première, et ainsi de suite.

Au lieu d'assigner arbitrairement l'équation de la courbe d'intersection de la surface et du plan xzj on aurait pu donner celle de la section de la surface par tout autre plan parallèle.

Il résulte de là que, si l'on peut assigner une exprès-. sion de z en o:,^, qui satisfasse à l'équation (a), cette expression , pour avoir le même degré de généralité^que réquation aux différences partielles à laquelle elle satisfait, doit contenir une fonction arbitraire dont on puisse disposer pour faire passer la surface par une courbe donnée.

576. On arrive au même résultat quand on substitue à la construction, d'une surface dans l'espace, la construction sur un plan horizontal de la série de ses lignes de niveau [laô]. Supposons qu'en outre de l'équation {a)j on donne la trace de la surface sur le plan horizontal des xj^j ou 1 equatipn de cette trace

on aura , pour tous les points de la surface qui appartiennent à la courbe (f)^ p-^qf 'x=:o. Cette équation,

jointe à la proposée (a), donne en fonction de j:,jr les valeurs de^, q et celle de p*+ç* pour chaque point de la surface appartenant à la ligne de niveau (fi). Menant des normales à chaque point de cette courbe , et prenant sur chaque normale une longueur égale à la quan^

tité très-petite du premier ordre— ===, on tracera

sur le plan x^ (aux quantités près du second ordre) la projection d'une seconde ligne de niveau, pour laquelle l'ordonnée z aura la valeur A2. En suivant le même procédé, on se servira de cette courbe pour tracer la projection d'une troisième ligue de niveau, dont l'ordonnée z aura la valeur 2Àz, et ainsi de suite.

577. Ces considérations s'étendent aux équations aux différences partielles du premier ordre, entre un nombre quelconque de variables. Soit l'équation / du du du\ du ^, du du\ . .

avec laquelle il faut construire la fonction a des trois variables indépendantes x^j^z, A cet effet, il est nécessaire qu'on assigne la fonction u=x^a:^y) pour une valeur particulière de z, telle que 2=0. On aura ensuite, pour zrzzA^, quantité très-petite du premier ordre,

d'oïl, aux quantités près du second ordre, Awz=z4>(^,^).As,

On déterminerait de même la valeur u=xf^{x^y)^ qui correspond à 2=2 Az, et ainsi indéfiniment.

Donc, si l'on peut assigner une expression de u en ^i^th ^^^ satisfasse à l'équation (c), cette expression , pour avoir le même degré de généralité que l'équation