CONSTRUCTION DES ÉQUAT. AUX DIFF. PARTIELLES

aux différences partielles à laquelle elle satisfait, doit contenir une fonction arbitraire de deux quantités variables, dont on puisse disposer pour que la fonction a se réduise à une fonction donnée de deux des variables j:,^,z, lorsqu'on assigne à la troisième variable une certaine valeur particulière.

La même chose se voit par la considération des surfaces de niveau [i^QJ- Concevons, en effet, qu'on ait tracé dans l'espace une première surface de niveau

pour laquelle la fonction u ait une certaine valeur particulière, telle que zéro : on aura, pour les points (x^,z) qui appartiennent à cette surface,

I du du I du , ,.

p dx dz q dy ^^ ^

p^q désignant les valeurs de -j- > —, qui se tirent de

l'équation (y). Les équations [c) et (y') détermineront donc, pour les points en question, les valeurs des

trois dérivées partielles -j-> -j-j -j-, et, par suite, celle

dx dy dz

du radical

Si maintenant on élève en chaque point de la surface (y) une normale à cette surface , et qu'on prenne sui' chaque normale une longueur égale à la quantité trèspetite du premier ordre -.g-, on tracera dans l'es-

pace (aux quantités près du second ordre) une seconde surface de niveau, pour laquelle la fonction u aura la valeur A^ [129^ i5i et ^38]. Par la continuation du

438 LIVRE vu. — CHAPITBE Vf.

même procédé, on construira la fonction u, en construisant la série de ses surfaces de niveau.

578. Une équation aux différences partielles du second ordre, entre la fonction z et les variables indépendantes x^y^ est, dans le cas le plus général, de la forme

r(^» 7» ^ Z'» î» '•^ ^> 0=0- Admettons d'abord qu'elle se réduise à

si on la met sous la forme

on s'en servira pour construire comme préoéd^kiment [579] la fonction z , après avoir assigné arbitrairement la valeur z^çj;, pour j^=:o.

Mais si l'on résout la même équation {d^ par rapport <i r, et qu'elle devienne

on construira de proche en proche les valeurs de z pour x=zà^y 3c=:^Lx, x=!à^j etc., en se donnant arbitrairement les fonctions de / qui expriment les valeurs de

dz :: et de yy = -y- pour a: = o. Car, soient i^y et x;^ ces

deux fonctions arbitraires, on aura : pour j:i=:o,

d'où, aux quantités près du second ordre,

A/7=<I>j.Aa:, /? + Sp^in^x + ^x . tue t=:^xi^x. D'ailleurs, les fonctions z el q^ qui ont pour valeurs ^j et ij^y, quand x est nul, deviennent, pour .rz=:Ax, toujours au même degré d'approximation ,