COKSTHUCTION DES £QUAT. AUX DIFF. PARTIELLES
Maintenant, pour x='x^^ la valeur de z est
et, en continuant de proche en proche le même calcul , on déterminerait la série des valeurs de z.
On voit donc que l'équation en Xyy^z qui satisfait avec toute la généralité possible à l'équation (d)^ peut contenir une ou deux fonctions arbitraires, selon que ces fonctions arbitraires doivent être déterminées par des conditions relatives aux valeurs initiales de a:, ou par des conditions relatives aux valeurs initiales de y. Ce fait d'analyse , qui a presque semblé paradoxal , la première fois qu'on en a fait la remarque sur l'équation r=^ [^^^9 s'explique donc très-simplement par la nature des équations aux différences partielles.
579. Admettons présentement que la dérivée s entre dans l'équation proposée qui aura la forme
^^^r-^hP^qyryS):=^o. {e)
S'il s'agit de construire la fonction , au moyen de sa valeur initiale 2=ça:, pour ^=o, la substitution de cette valeur initiale donnera
F^ar, o, <|xr, <p'x, q, 9"^, -^ = o, (e)
équation différentielle du premier ordre, d'où l'on peut tirer par l'intégration la valeur initiale de q en fonction de X. L'expression de cette valeur initiale dépend de la fonction arbitraire cp.r , et contient , en outre , une constante arbitraire introduite par l'intégration; ce qui revient à dire que, pour la construction de la fonction 2, il faut se donner, outre la fonction (p.r, la valeur numérique de q relative à^=o et à a:=o, ou à toute autre valeur particulière de x. Soit q=r.^ (xf^) la valeur de q eu
fonction de j; et de la constante arbitraire C y obtenue par Tintégration de l'équation (e) : on aura, pour y'==^jj aux quantités près du second ordre y
Pour la même valeur de ^, on aura q=4^t (a:,C,), C» désignant une nouvelle constante arbitraire, amenée par l'intégration de l'équation
FT^or, A/, 9^, y, ç/'^r, ^) = «;
et ainsi de suite. La série des constantes arbitraires C, C, , etc., peut être considérée comme une fonction arbitraire de jr , qui doit être donnée , ainsi que la fonction ^Xj afin qu'on puisse construire la fonction z, assujettie à vérifier l'équation {é).
Si l'on donnait, pour a:=o, les valeurs initiales z=. ^, p = rij-j on aurait en même temps
'•= ^= f(o> r. *r, trfr, +>, <r),
et l'on rentrerait dans le cas traité au n"* précédent.
Enfin , si la dérivée t entre dans l'équation proposée aussi bien que r, la symétrie se trouvera rétablie, et le mode de construction sera le même , soit qu'on résolve l'équation par rapport .\ r ou par rapport à t.
Cette discussion s'étendrait aisément aux équations des ordres supérieurs, où le nombre des variables indépendantes serait quelconque.
580. Il convient de remarquer que, si le temps est l'une des variables indépendantes , c'est par rapport aux valeurs initiales de cette variable que doivent toujours être censées données les fonctions arbitraires exigées pour la construction de l'équation aux difFérences partielles. Par exemple , pour la construction de l'équation
CONSTRUCTIOi!! DES ÉQIJAT. AUX DlFf . PARTIELLES. 441
du , rf'a , .
oîi u désigne la température au bout du temps t , de la tranche d'une barre cylindrique qui correspond à l'abscisse x [56q], il faut admettre qu'on donne la fonction u=i(fx qui exprime la loi des températures de la barre, quand t a une valeur déterminée, telle que zéro. Abstraction faite de la signification des lettres u^x^ tj on pourrait sans doute construire la même équa-
tion en assignant les valeurs ^t et rit de u et de -t-
pour une valeur déterminée de x, telle que .r^o : mais il répugne que Ton ait pour données du problème les fonctions ^t et rit; et, au contraire, la série des valeurs de u est essentiellement déterminée en vertu de l'équation (i)^ jointe à la condition initiale £^ = f.r. Ceci est Qne conséquence de l'attribut de la variable t sur lequel nous avons maintes fois insisté, celui d'être indépendante par essence, et non en vertu d'une convention arbiti'aire.
Les procédés exposés ci-dessus seraient sans doute presque inapplicables dans la pratique : mais cette exposition a pour but de faire comprendre ce que représente eu soi une équation aux différences partielles, qu'elle comporte ou non une intégrale analytique.
581. Tous ces procédés de construction arithmétique exigent que les dérivées conservent des valeui*s finies. Soit, par exemple, l'équation
(|ui appartient [a 54] aux surfaces de révolution autour d'un axe perpendiculaire au plan aj-, et qui coupe Taxe
442 LIVnE VII. CHAPITRE VI.
des^en un point dont la distance à Torigine est désiguée par yo '> on mettra cette équation sous la forme
et , en supposant qu^on donne la valeur
pour^=o, on pourra appliquer le procédé de construction du n^ 575, mais pourvu qu'entre les limites de la construction x ne s'évanouisse pas, ce qui rendrait infinie la valeur de q. Effectivement nous avons remarqué [2 56] que la courbe méridienne d'une surface de révolution autour d'un axe donné , n'est pas, en général, déterminée dans toute l'étendue de son cours, parce qu'on donne la courbe d'intersection de la surface avec un plan tel que* le plan xz; et que, par conséquent, la surface même ne l'est pas dans toute son étendue. D'après la direction que nous attribuons ici à l'axe de révolution, si l'on mène des plans parallèles au plan^r;^, par les points où la courbe (3) coupe l'axe des z, la portion de la surface de révolution comprise entre ces pians est la seule que détermine le système des équations (2) et (3). A la rigueur, la construction du n® SyS ne donne même pas toute cette portion de surface, mais celle qui est comprise entre d'autres plans parallèles au plan x/y^ et aussi rapprochés qu'on le veut de ceux qui ont été menés par les points où la courbe (3) coupe l'axe des 2. La solution de continuité, correspondant à .r=o, est là pour empêcher que la construction ne puisse s'étendre à des portions de surface qu'en effet les données de la construction, savoir les équations (2J et /3) , ne doivent pas déterminer.
