CHAPITRE PREMIER

CALCUL DES DIFFERENCES FINIES ET DES INTEGRALES AUX DIFFERENCES FINIES, POUR LES FONCTIONS EXPLI- CITES d'une SEULE VARIABLE.

582. Nous avons, dès le commencement de ce Traité [livre I , ch. lY] , considéré les différences finies entre les valeurs que prend successivement une quantité variable, et nous les avons désignées par la caractéristique À placée devant la variable; nous avons opéré sur la série de ces différences comme sur la série primitive, en prenant les différences des termes consécutifs, de manière à former des différences du second ordre désignées par la caractéristique A*, et ainsi de suite. Mais nous n'avions alors pour but que d'arriver à la théorie des différences infinitésimales des divers ordres, et de poser les principes du calcul différentiel , auquel se rattache tout ce -que Ton connaît jusqu'ici de plus important dans la théorie dos fonctions. Cependant il existe entre les différences finies des divers ordres et les variables dont elles dérivent, des relations qui méritent aussi d'être développées , et dont le développement donne

444 L1VR£ YlII. CHAPITBB 1.

uaissance à une autre b^nche de la théorie des fonctions que Ton nomdie le Catad des différences finies. Cest le sujet dont Fexposition sommaire terminera le présent ouvrage.

Désignons par

Jo » /* I 7» f /• > /« » (/■/

une série de valeurs de la quantité jr^ au nombre de

/!+ 1 : on aura [43]

Cette formule, où la valeur ^« se trouve exprimée au moyen de la valeur initiale jo et de ses différences, jusqu'à celle de l'ordre n inclusivement, peut s'écrire symboliquement

ainsi qu'qn l'a expliqué dans le n^ cité.

Réciproquement, là différence A*^« peut s'exprimer au moyen des termes de la série {jr^ : ainsi l'on troufe

par des substitutions successives

Aro=ri— 7o, A'7oP=r.— î^/x+Jo, A^j^zzzja^S/.-l-Sj,— j», etc. Toutes ces équations rentrent dans la formule

à laquelle s'applique sans difficulté le tour ordinaire de démonstration de proche en proche. Admettons en effet que la formule (&) subsiste pour l'indice n : on aura ., n n(n — i)

' /i(/i— ly/î— 2) n /i(/i— i)

— J/1+ 1 j^7«H — j 2t ■^'*"'* TTS '^'*~"* ~t- etc . ;

DIFFÉREirCES FIXIES. 445

en sorte que la formule subsistera encore pour Tindice /i-*-i. D*ailleurs elle peut s'écrire symboliquement

pourvu que l'on convienne de changer après le développement les exposants de^ en indices, et d'écrire ^o au lieu de l'unité dans le dernier terme du développement.

583. Considérons^ comme une fonction d'une autre variable x, de manière que le passage de la variable x par les valeurs successives

entraîne le passage de la fonction j- par les valeurs correspondantes

To^ Xi^ X\^ ïiy •'•••• Xn • (^/i j

le calcul des différences de la fonction ^=:yi, a pour objet d'exprimer ces différences en fonction des différences de la variable x, d'après la forme assignée à la fonction yi

La supposition la plus simple qu'on puisse faire, consiste à admettre que la variable x croît par intervalles égaux, en sorte que les séries {x^ et (^„) deviennent •^e> x^ + tkx^x^ -f- aAo: , x^+ 3A^ , ...... x„+ nSpc ;

Dans cette hypothèse , rien n'empêche de prendre A^ = 1 ; car si l'on avait ^x=hy h étant une constante différente de l'unité, il suffirait de poser a:=^o-*"'^> pour que^ devînt fonction d'une nouvelle variable /, qui croît par intervalles égaux à l'unité.

Si la .variable x ne croissait pas par intervalles égaux, le calcul des différences de la fonction y ne deviendrait un problème déterminé qu'autant qu'on exprimerait la

loi suivant laquelle se succèdent les valeurs de la quantité X. Il faudrait donc que chaque terme Xi de la série (.r.) prît une valeur déterminée par cela seul qu'on assignerait la valeur numérique de Tiodice i, ou qu'on eûta?/=fi. Mais alors/ deviendrait aussi uue fonction de if dont on pourrait prendre les différences, en admettant que la variable dont elle dépend passe par la série des nombres naturels, et en conséquence croît par différences constantes, égales à l'unité.

Cette variable i ^ qui désigne l'indice ou le numéro d'ordre d'un terme, dans la série à laquelle il appartient, est donc la variable essentiellement indépendante, dont on peut concevoir que toutes les autres variables dépendent, et qui remplit ici (en vertu d'une analogie philosophiquement très-remarquable) le rôle que remplit la variable t désignant le temps, dans la théorie des fluxions.

En général, une série de termes qui varient d'après une loi déterminée, est susceptible de se prolonger indéfiniment dans deux sens, en avant et en arrière d'un terme pris arbitrairement pour origine ou pour point de départ. On devra donc , en général , concevoir que la variable / passe par la série des nombres entiers , tant positifs que négatifs , sauf à rejeter une portion de la série dans les applications à des questions particulières.

584. La variable /, désignant un indice ou un numéro d'ordre, est essentiellement discontinue; mais les variables x,y peuvent représenter des grandeurs continues; et, bien que le calcul des différences ne porte que sur des séries de valeurs séparées par des intervalles Buis, les résultats du calcul doivent s'interpréter diffé-

reinment, suivant qu'ils s'appliquent à des grandeurs essentiellement continues ou discontinues. Considérons en effet les deux séries

— Aj-s, ir,, A/.„ Atoj Ato Ar.ï^r»» — Ar< « — (y)

et pour simplifier , admettons que le terme général de chacune d'elles soit donné immédiatement en fonction de. l'indice /. Il est clair qu'on pourrait ajouter à chaque terme de la série (c) une constance arbitraire C, sans que cela amenât de changement dans la série (y), dérivée de la première. Réciproquement, étant donné le terme général A;^,, ou la série (y), si l'on peut trouver par un moyen quelconque une fonction j-i qui ait \yi pour différence du premier ordre, il faudra ajouter à^/ une constante arbitraire C pour construire la série (c)^ saus lui rien ôter de la généralité qu'elle comporte.

Par conséquent encore, la série (c) ne sera complètement déterminée au moyen de la série (y), qu'autant qu'on assignera la valeur numérique d'un terme de la première série , par exemple la valeur numérique du termej^o- ^^^ ^^^î l'analogie des différences avec les différentielles se soutient parfaitement.

Supposons maintenant qu'il ne s'agisse plus seulement de. construire des sériés ^ mais que, les variables xetj' désignant des grandeurs continues, on ait pour toutes les valeurs possibles de / et de .r,

j=:/jr, ^y=f{x-\-lix)—fx=i{x,x+^x): (f; on pourra remarquer que la fonction f ne changerait pas, non-seulement si l'on ajoutait à fx une constante arbitraire C, mais encore si l'on ajoutait difx une fonc-

-tlpo périodique

xi{xy Ix)

448 UVRB Tin. — CHAPITRE I.

qui reprend les méipes Taleuri. chaque fops que jt augmente de /Lr, et qui d^aillaun peut av«w une forme quelconque. Donc, par récipradté, « la.fiMustioo f est donnée y et qu*on puisse trouver par un mojeo quelconque une fonction y qui ait f pour ££ESrence^ la fonction y sera encore indéterminée , non-ceuleMeot quant à sa valeur numérique, mais quant à ia fiMmé.

Pour construire, au moyen de Téquation (f), une courbe dont /^est Fordonnëe, il &ut concevoir que 1*00 ait préalablement tracé, d'une manière arbitraire, b portion de courbe MN {Jig. io3), dont les pointsét* trémes ont pour abscisses OP=a?o, OQ=x« + Ar; en s*assujetdssant cependant à la condition que la différence HN des deux ordonnées extrêmes soit la valeur de A/ donnée par l'équation ( f) quand on y fiût jXzzzx^ La coitf be sera déterminée alors dans tout le surplui de son cours : car, soit Op=zx une abscisse qudconque comprise entre x^ et or.+Aâ;, du freaâr^ pqsi=AXf et la différence hn des ordonnées pm, qn sera donnée es vertu de Téquation ( f ). Donc le tracé de l'arc MN déterminera, concurremment avec l'équation (f), le tracé de l'arc NN, , dont les points extrêmes ont pour ordoDnées Xo-^tkXj x^-^-iibJC*^ et comme la même construction peut être indéfiniment répétée, tant dans le sens des x positifs que dans le sens des x négatifs, le tracé de la courbe entière se trouvera déterminé. Bien entendu que ce tracé peut offrir des solutions de continuité d'un ordre quelconque.

585. L'opération qui consiste à revenir du terme biji au terme ^„ ou à construire la série (<?) par le moyen de la série (y), est une sommation proprement dite. En effet , l'on a identiquement

1>IFFISRENGES FINIES. 449

en sorte que, par une simple addition algébrique, on construira la série (c) avec la série (y) , pourvu qu'on ait en outre le terme initial j-^ , qui tient lieu de la constante ou de la fonction arbitraire dont il vient d'être question , selon que j' est une variable discontinue ou continue.

De même qu'on emploie le signe /'pour indiquer une somme de différentielles, ou une intégrale proprement dite, on emploie le signe 2 pour indiquer une somme proprement dite, ou une intégrale aux différences finies. Les caractéristiques 2 , A sont inverses l'une de l'autre, et s'effacent réciproquement , comme les caractéristiques y^ d. Ainsi, de la formule précédente on tire

27i= Sjo +ro + 7t +7a + +7<-x , {d)

et le terme. 27^0 désigne alors la constante ou la fonction arbitraire amenée par l'intégration.

En adoptant une notation analogue à celle qu'on emploie maintenant pour les intégrales définies ordinaires, on écrira

2/^ — 27o = 2oy<, et par suite

2o!r< = Jo+7, +7, + +7<-, . {e)

Nous avons déjà employé, dans le cours de cet ouvrage, la caractéristique 2 comme signe de sommation ; et quelquefois la notation

sert à désigner d'une manière abrégée la somme des valeurs de la fonction^,, pour toutes les valeurs de l'indice i, de ^=^o jusqu'à /=/, inclusivement, La formule [e) montre qu'il faut exclure de cette somme le T. II. 29

dernier terme /t, lorsqu'on prend la caractéristique 2 pour signe d'une intégrale aux différences finies.

Dans le cas contraire^ on lèvera toute ambiguïté en remplaçant 2 par S , et en écrivant

L'opération dont le signe 2 est l'indice, peut se répéter indéfiniment y de même que l'opération inverse, in4iquée par le signe A, et la répétition de l'opération s'indique de la même manière par un exposant affecté à la caractéristique. Ainsi l'on tire de la formule (d)