I . Ad I

i.a i.a.j i.a.3.4 Prenons /a;^:e' : il viendra

— , &dx=é'

, fWx=é' ;

et l'équatiou (1) nous donnera, après la suppression du fecteur commun e",

^ -r- + Ao + A,A:r + A^Aji' 4- AjAjt' + etc. ;

d'où il suit que le coefficient A^ est celui qui multiplie k'' dans le développement de la fonction

suivant les puissances entières et positives de a.. En remettant pour A, sa valeur — ;, on a

A ,« + A,œ' + A,a* + etc. = h -

FORMULE d'eULER. 461

Ovj le dernier membre de cette équation est évidemment une fonction impaire de a : donc , dans la sërie qui est le développement de cette fonction impaire , les coefficients des puissances paires de a doivent disparaître. Donc , pour toutes les valeurs paires de l'indice /, autres que zéro , le coefficient A^ est nul.

Si Ton effectuait le développement dont il vient d'être question , on obtiendrait l'expression de A,- en fonction immédiate de l'indice / : mais nous n'insisterons pas sur ce calcul compliqué, quoique élégant; les coefficients A, pouvant être commodément calculés de proche en proche au moyen des équations (À) dont la loi est évidente.

Comme les coefficients A,,*^! sont alternativement positifs et négatifs, nous mettrons l'équation (i) sous la forme

^fx=C'\-'^ffxdx^-fx+fi^ùix .f'x—fL^b^.f'x

+ AsAj:^ • f^ ^ — etc. , (2)

C désignant la constante arbitraire qu'entraînent les signes d'intégration indéfinie ^ et /. Alors les lettres As,4.x représenteront toutes des nombres positifs.