I -H sin

Lorsque la fonction F ne peut pas s'obtenir sous forme finie, les intégrales précédentes, dans le cas où la fonction /*est algébrique, sont au moins ramenées à dépendre de l'intégration de la fonction algébrique y^<://.

f désignant toujours une fonction algébrique, on pourra rendre algébriques les fonctions

}\e^*) . dx , /(sin mx , cos m^r) . dx , en posant, pour la première, 6"*=/, et pour la seconde, sin mx=i^ ou cos mx=t.

Ainsi cette substitution donnera :

/^ dx r dt . /\—t — : — : — = 1/ — : — v— 7=== — V \rConst,.

* %/' — sinar dt

-{-const.y

2 fi + a 1 /i— cosa:!

= .arctanff • V + const,

I — a" ° Li— a i+cosa:J

On rendrait encore algébrique la fonction y^(sin mx^ cos mx; sin imx^ cos //tio:; sin ima: ^cos imx;...)dûCy /désignant une fonction algébrique, et i, H... des nombres entiers; attendu que dans ce cas sin irna:^

cos îmxj s'expriment en termes finis, au moyen des

puissances entières desinz/z^r^ cosrnx [77].

Une fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus peut toujours s'intégrer, après qu'on a changé par les formules connues [78] les puissances de sinus et de cosinus en sinus et cosinus d'arcs multiples, et les produits de sinus et de cosinus d'arcs différents, en simples sinus et cosinus. Par exemple, on a

/sm{mx-\"n)cos{px-}-p)dx= - /sin[(/n-f-/?)^+7i4-y]€£ar

- /sin[(/n — p)x-{-n — q\dx cos[{m+p)x-^n'^q\ cos[{m—p)x-\'n-^q] , ^

2(/W-f-/?) 2(lW p)