La détermination de l'intégrale
Jsin^xcos^xdx (ft,v)
dépend de l'intégration d'une irrationnelle binôme ; car si Ion pose sin ,i-=l/^, cette fonction devient
lITTEGRilTIOlf DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 27
On pourrait donc employer les formules du n® 807 à la réduction des exposants (x, v ; mais il vaut mieux effectuer ce calcul de réduction en conservant la fonction ((A,v) sous sa forme primitive.
Si l'exposant [t est positif, on diminue cet exposant sans augmenter v , en vertu des équations fivûy-z cos^a:da:=:Jsm^^ cos^x . sin xda:
sin»*— 'ar cosH-«ar w. — i f, ., ,
= — — ■ h ^ /sm»'~*a:cos''+*;ralr,
Jsin^-^^x cos*+"^«ir=ysini*"*j;cos*j:é£r — fsm^x cog'xcLr , d'où Ton tire
Si l'exposant v est positif, on diminue cet exposant sans augmenter [i., en employant la formule suivante, à laquelle on est conduit par un calcul analogue :
r- „ j ■ sinH-» j; COS'J? V 1 A . I / \
fsm^x cos''a;aa;= 1 /smi*j:cos*""*^aa:. (>)
On tire de l'équation (^l)
/.. , sini'-'jrcos^+'j? f^-f v /*. . , ,
et en changeant ^L en — (^"f"/* >
/cos^or , cos'+'jT w. — V — 2 rco&'*x - . ,.
smi*a: ((i. — ijsmJ'-'jr (t — i J sin^~'*x
On tirerait de même de l'équation (v)
/sîni*x , sin»*+'jr v — a — 2 /*sini*j: , , ,. dx = y r . 1 5- r-l TT- "^- (^ ) cos*^ (v — ijcos'^'^r V — I Jcos'^^x ^
Ces deux dernières formules servent à réduire les valeurs numériques des exposants [a, v dans l'intégrale ([^yv), quand ces exposants sont négatifs.
A l'aide des quatre formules de réduction ((x), (v),
28 LlVaE V. GHAPITRK H.
((il'), (v') , on fait toujours dépendre l'intégrale ((t,>) d'intégrales de même, forme , dans lesquelles les exposants (i.,v tombent entre — i et -|- i ; et lorsque les exposants, primitifs (&, v sont entiers , l'intégrale (|a,v) est amenée à dépendre de l'une des neuf intégrales suivantes :
Jsïnxcosxdx=z-ûn^x+Cy 1 dxz= — logcosx+C,
/COS^ /* aX -. — €ir=Ioff sino; -f-C, / -: =Iofftanffa:+C, sin^c '^ J smorcosj: o o
"*" 310. Au lieu de ramener l'intégrale d'une fonction transcendante à dépendre de l'intégrale d'une fonction algébrique, On peut faire l'inverse et obtenir ainsi, pour certaines transcendantes à différentielles algébriques, des expressions d'une forme plus simple ou d'une discussion plus facile. C'est ce qui se pratique notamment pour les intégrales (A), (B), (C) du n'' 3o5. Soit en effet p^ le plus grand des coefHcients /?% q^ qui entrent dans la composition du radical
on posera
/;:r = tang(p, ^-—2^ —c ,
et les trois intégrales {l)récitée$ se trouveront comprises sous la formule générale
//A + Bsin^y\ ^
y VC + D sin V V/i-c»«in-<p' ^ * ^
Si au contraire le radical a la forme
il deviendra imaginaire pour les valeurs de x^ comprises
INTl^GRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 29
entre -^ et -^ ; en sorte que les trois intégrales dans la
composition desquelles entre ce radical, seront ellesmémes affectées d'imaginarité , à moins qu'on n'ait p^x^ < I pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites dé Tintégration. On sera donc autorisé à poser
f>^=sin<p, Ç=^*;
au moyen de quoi l'expréssioB (i) sera encore la forme générale des intégrales (A) , (B) , (C) , c* désignant toujours tin paramètre compris entre o et i. Mais cette formule (i) équivaut à
A' / ^ -f-B' / l/i— c'sîn'o.rfp
J l/x-c«8in»<p J ^ ^
J (i4-asin*(p)i^i— c»8in»<p h!^f^ 9 a étant de nouveaux coefficients que l'on dédttîiraît saÀs peine de AyB,C3 P^i* 1a réduction au m^e dénominateur, et la comparaison des termes qui affectent les mêmes puissances de sin «p. En ccmséquence, le calcul des trois intégrales (A),(B),(C) est ramem à celui des trois intégrales suivantes, que Ton regarde avec raismi comme plus simples,
\/l— C»8ÎQ»9 . rfÇ , (II)
(i + a sin* ç) l/i — c* «in* 9 * 3 1 1 . Parmi les intégrales qui rentrent dans les formes (I),(II), nous citerons les suivantes, qui se présentent dans diverses applications importantes ,
/dif Ç cos ifdif
Si ron change de variable en posant l'équation
sin (ç 4- i|;) = c sin ç , on aura
•. [c.cosç— cos(94-i|;)]£/9 (c . cos^ — V^ i — «» «n* ç)rf<p
^ cos (9+^) Vi — c* sin* 9 '
cos«|;=:sin9sin(f +^) + cos9cos(ç + ^)
= C sin*9 4- cos 9 V^i— c'sîn'ç , i^i — ac.cos4-hc»=C.COS9-— V/i — c'flia*^,
et par suite
/* cosdMfd/ r sin*o efo >, ,
/ ^^ =c / T '^ -^/cosodo
J Kl — ac.co8^ + c» y Kl — c» aîn* ç
:=- / — 7=== / V/'i — <î» sin *© .//ç -f- sin 9.
<?y V^x — c»8m'9 Cj
312. Soient f ) 9 deux fonctions de x, la première algébrique, la seconde transcendante, mais ayant une dérivée algébrique 9% et posons
yjfifl6r=fj^ /fj9'.dlr=fa, y"fa9'.rfir = fj, etc, :
l'intégration par parties donnera
fîf^.dxzzii^ — /ï/ïj9'".9"-'.rfj7, yfj9'.9"~'.flte = f,9"— — (/i — i)/fa9' .9"-». ££z7, etc. ; d'où
fi(^.dxz=:îr(^ — n{j^-^ + n{n — i)f39""-* — . . . .•.db/i(/i- — i). . .3.2. 1 .fs^x; l'exposant n étant un nombre positif entier. En conséquence, dans cette hypothèse, et lorsque toutes les intégrales fi , f,, . . . f„^, peuvent s'exprimer en termes finis, l'intégrale
/f9«.ife^ (f,9)
s'exprime aussi en termes finis.
INTJ^GRATIOrr DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 31
Admettons, maintenant que n soit un nombre entier négatif; ou , ce qui revient au même ^ considérons l'intégrale
Ir^' (H)
en traitant» comme un nombre entier positif , et posons, pour simplifier,
f = '^" Y ' y = «J3, etc.:
nous aurons
/— ^.£ir=/— ^z= — 7 \ h-^ / — ^.rfor.etc.
et par suite I — . Ar= — 7 1 h ; s , s h etc. I
(/l — l)(/I 2)...3.2.iy O
En conséquence, l'intégrale (f, -) est ramenée à dépendre de la transcendante
— -.dx.
Si l'exposant n n'était pas entier, le calcul qui vient
d'être indiqué développerait les intégrales (f,^), (^j-j
en séries d'un nombi^ infini de termes. 313. Prenons pour exemple
f:=ar*-% 9 = logo:/
les formules précédentes nous donneront
/af-' {log^y «fr = (log x)» — - (log a;)'-'
n(R — i),, . !'*('* — i).. .3.2. il , .
