Revenons à la construction arithmétique de l'équation

F(^,r,Ar)=o, (F)

et supposons que de cette équation Ton puisse tirer deux valeurs de A^ en fonction de x^j^. Après qu'on se sera donné arbitrairement la valeur initiale j^o 9 correspondant à une valeur déterminée de x, telle que j:=o, on aura, suivant qu'on choisira pour A^ l'une ou l'autre des deux valeurs fournies par l'équation (F), deux valeurs différentes de /,, à chacune desquelles, par la même raison^ correspondront deux valeurs différentes de^,, de sorte qu'il y aura quatre systèmes distincts de valeurs pour la série partielle (^"oyJKii^a)- On obtiendrait huit systèmes distincts pour la série partielle (/©•^M/a^^a)» qui comprend un terme de plus, et ainsi de suite. En général , si l'équation (F) donne m valeurs pour A^, la série partielle (/oy^n^avvTii) pourra être construite d'après cette équation, d'autant de manières différentes qu'il y a d'unités dans m!*. L'équation aux différences prise pour exemple, est du premier ordre, mais les mêmes remarques sont applicables aux équations aux différences d'un ordre quelconque.

Si, parmi les diverses séries, ainsi dérivées arithmétiquement de l'équation (F), il s'en trouve plusieurs dont le terme général puisse être exprimé par une fonction algébrique ou transcendante de l'indice et de la valeur initiale ^^y ou d'ime constante arbitraire qui en tient

lieu, l'équation proposée aura plusieurs intégrales distinctes, et néanmoins complètes, puisqu'elles contiendront une constante arbitraire.

Tel est en effet le résultat auquel on arrive indirectement, quand, au lieu de remonter de l'équation aux différences à Tintégrale complétée par une constante arbitraire, on part d'une équation entre x^jr et uoe constante, pour arriver à une équation aux différences d'oïl cette constante se trouve éliminée.

Prenons comme exemple l'équation très-simple

qui donne par ta différentiation , pour Ax=i,

Ar==a, (2)

et par l'élimination de la constante a^

d'où il suit que l'équation (i) est ^'intégrale complète de l'équation (3).

G)nsidérons maintenant dans l'équation (i) le paramètre a comme une fonction variable de x^ et afin que

les équations (2) et (3) n'en subsistent pas moins, égalons séparément à zéro la portion de la variation du second membre de l'équation (i), qui provient de la variation de a : nous aurons

Aa ( Aa + 2a-|-ar+i) = o ;

et cette équation se décompose en deux autres

Aa = o , Aa -h 2a -h a: + I =* o . (4)

La première donne a:=iconst,^ ce qui fait retomber sur l'équation (1). On pourrait appliquer à la seconde la formule générale du n° 607 pour l'intégration des équations linéaires du premier ordre; mais si l'on pose directement r/=;^-|-//?.r-|-/? , u désignant une nouvelle fonction de .?, et rn^n des constantes indéterminées, il

viendra

A« + aii+(am + i)^ + 2/i4-m + i =o ,

ou simplement, en prenant m=^ — x, ai= — \^

Ai«-4-2tt=: O • (5)

L'ëquation (5) qui peut se mettre sous la forme /#ar+,-f-i/,=o, a pour intégrale complète

Ux'=^b{^ — i)* , d'où a = i { — x)* — »

b désignant une constante arbitraire.

Cette valeur de a doit être substituée dans l'équation (i). Pour faciliter la substitution, on met celle-ci sous la forme

ce qui donne

On obtient ainsi une équation en x^jy jouissant de la propriété de satisfaire à Téquation (3), et qui en est, aussi bien que Téquation (i), une intégrale complète, puisqu'elle renferme la constante arbitraire b.

613. Le géomètre Charles, qui a signalé le premier la multiplicité des intégrales que comportent les équations aux différences, distingue ces intégrales en directes et en indirectes. Suivant son langage, l'équation (3) aurait pour intégrale directe l'équation (i) et pour intégrale indirecte l'équation (6); mais ces expressions doivent être bannies comme propres à donner des idées inexactes. S'il est vrai qu'en opérant comme on l'a fait ci-dessus, c'est-à-dire en se donnant directement l'intégrale (i), pour en conclure l'équation aux différences (3) et ensuite la seconde intégrale (6), celle-ci n'a été obtenue que d'une manière indirecte, il est vrai aussi que, quand on

494 LIVRE Vllf. CHAPITRE III.

se donne d^abord l'equatiou aux différences , les deux intégrales qui y satisfont, qui sont toutes deux complétées par une constante arbitraire, sont aussi directes Fune que l'autre, bien que l'une d'elles puisse avoir accidentellement une forme algébrique plus simple.

Bien ne s'oppose en effet à ce qu'on traite l'équation (6) comme on a traité l'équation (i), en y considérant le paramètre b comme une fonction de .r, et en égalant séparément à zéro la somme des termes provenus de la variation de ce paramètre. L'équation en b est, toutes simplifications faites,

A6-i- 2*4-^ — 1/^=0 , et si l'on y applique la formule du n*" 607, il vient

b={x{—iY+c{—iY,

c désignant une constante arbitraire. Cette valeur de b^ substituée dans l'équation (6), donne

et enfin si l'on change de constante, en posant c — j=tiy on retombe sur l'équation (i), qui par conséquent dérive de l'intégrale (6), de la même manière que Téquation (G) dérive de l'intégrale (i).

On peut encore, par un autre procédé, obtenir simultanément les intégrales (i) et (6). Car si l'on différentie l'équalion (3), il vient

A j- (A*j -I- 2 Aj 4- a; 4- I ) == o ,

équation du second ordre, qui se décompose en deux

autres

La première donne A^^=a, et cette valeur de a^, substituée dans l'équation (3), reproduit l'intégrale (1). En intégrant une première fois la seconde équation,

comme on a intégré la seconde équation (4)^ on obtient

et cette autre valeur de t^y^ substituée à son tour dans l'équation (3), reproduit l'intégrale (6).

Le lecteur remarquera l'analogie de ces calculs avec ceux qui donnent les intégrales singulières des équations difTérentielles dont on a l'intégrale générale; mais il s'en faut bien que cette analogie soit complète, puisqu'ici les deux intégrales obtenues ont chacune une constante arbitraire, et que, si l'on voulait maintenir sous un certain point de vue l'assimilation avec les intégrales singulières, la réciprocité des rapports existant entre les deux intégrales de l'équation aux difTérences, obligerait de regarder successivement chacune de ces intégrales comme remplissant, par rapport à l'autre, la fonction d'intégrale singulière.

614. M. Poisson a présenté sous un autre aspect, qu'il est intéressant de connaître, ce mode de dérivation réciproque.

Concevons l'équation (i) résolue par rapport à la constante a et mise sous la forme

w, V désignant généralement des fonctions de x^j. Soient a„ v^ ce que deviennent w, v^ quand on y change x^j en j:-hA^,jr-f-A/, on aura encore

et l'élimination de a entre les équations (7) et (8) reviendra à l'élimination de cette même constante entre l'équation primitive (i) et son équation aux différences

(7). Ije résultat de cette élimination sera évidemment réquation aux différences

{u,—u){u^ — v){if^ — u){v,—u)=o y (9)

laquelle doit par conséquent être identique avec l'équation (3). Or^ réquation finale, mise sous cette forme, se décompose en quatre autres

I^iCs deux premières conduisent immédiatement aux inté- 'grales u — n^ i^==a; qui se confondent Tune et l'autre, après l'évanouissement des radicaux, avec l'équation primitive (i)* Les deux autres équations conduisent pré< cisément à l'intégrale que Charles qualifie d'indirecte, par opposition à l'intégrale primitive de laquelle on est parti.

Dans l'exemple qui nous occupe^ on a

ce qui donne

i^i— tt=K— I — \y{^+ 1 )'+4( r •+- Aj)— i/j7*-*-4r)=o .

Afin d'opérer plus commodément l'intégration , changeons de variable , en posant |/^» -|- ^y=z : ces équations deviendront

pu bien

Az + 22 — 1 = 0, A<s 4- 23 -h I = o ;

et l'intégration donnera

//, f/' désignant des constantes arbitraires. De là on lire

EQUATlOJfS AUX ]>JFFÉHEirCES FINIES. 497

quations identiques avec l'intégrale (6), pourvu qu'on K)8e, ce qui est permis, i'=— ^aô, i''=:a6.

Si l'on conserve la variable auxiliaire z, l'équation 9), qui est une transformation de l'équation (3), prend a forme

et il est clair qu'on y satisfait, ou par une valeur de z en fonction de x qui rend nul un des facteurs pour toutes les valeurs numériques de x^ ou par une valeur de ^ qui annule successivement, tantôt l'un des facteurs, tantôt l'autre. C'est ce dernier cas qui a lieu si l'on prend pour z l'intégrale de l'équation

— I +( — iy^z,—z=o , (11)

X. désignant une fonction quelconque de Xy qui soit un nombre entier pour toutes les valeurs entières de x; car, selon que X a pour valeur un nombre j)air ou impair, la fonction (—1)* prend les valeurs -|-i ou — i, et le premier membre de l'équation (11) coïncide avec le premier ou avec le troisième facteur de l'équation (10). Pour intégrer l'équation (i i), il suffit d*en multiplier le premier membre par

(-ip,

car elle prend alors la forme

— ( — iP+A[( — ipz] = o, d'où l'on tire

(—i)i:^z = const.-h:^. K— O^*] • On simplifie ce résultat, en remarquant que l'intégrale 2X doit être, comme la fonction X, assujettie à la condition de prendre des valeurs entières pour toutes les valeurs entières de x. Le carré de la fonction

est donc constamment égal à i ; et par conséquent, si l'on T. II. 3a

élève au carré les deux membres de Téquation précédente, eu remplaçant la fonction arbitraire 2X par X, on aura

Suivant qu'on prendra X=i, ouX=j;, on retrouvera par cette formule l'intégrale (i) ou l'intégrale (6); mais on pourra en déduire une infinité d'autres intégrales, en assignant d'autres formes à la fonction X.

Si Ton représente par X' une fonction de x^ qui soit, ainsi que X, un nombre entier pour toutes les valeurs entières de .r, l'intégrale de l'équation

— H-(— OX;s,— ( — i)x'z=o devra encore satisfaire à l'équation (lo); mais en effectuant cette intégration, on trouve que les deux fonctions arbitraires X et X' se confondent en une seule dans l'intégrale, et l'on retombe sur la formule (i^).

Ces remarques sur la multiplicité indéfinie des intégrales que comportent certaines équations aux différences, sont encore dues à M. Poisson, et font l'objet du mémoire par lequel ce géomètre éminent a débuté dans une carrière parcourue depuis d'une manière si glorieuse et si profitable aux sciences. On voit d'ailleurs que cette multiplicité indéfinie doit résulter de ce que Ton peut construire arithmétiquement [612] une infinité de séries distinctes, ayant toutes un premier terme commun, et satisfaisant toutes à la même équation aux différences, lorsque celle-ci, résolue par rapport à la différence de l'ordre- le plus élevé, comporte plusieurs racines. Mais il s'agissait de montrer que, parmi toutes ces séries, il y en a un nombre infini dont on peut exprimer analvtiquemeut le terme général, et c'est ce que la discussion qui précède nicl liors de doute.

615. Il est bon de remarquer que le passage d'un facteur à l'autre peut avoir lieu, non-seulement pour les intégrales qu'on obtient dans l'analyse précédente par l'introduction du facteur ( — î)^, mais encore pour les intégrales qualifiées par Charles de directe et d'indirecte. Supposons , par exemple, que l'on ait pour x=o^ y"=z I et par suite z=a ; les quatre facteurs du premier membre de l'équation (lo), séparément égalera zéro et intégrés d'après cette condition initiale, donneront :

^ = a: + a , d'où / = 07 -4- I ,

La première équation donne à z une valeur négative quand X prend des valeurs négatives, numériquement plus grandes que i\ au contraire la quatrième équation donne à z des valeurs négatives pour toutes les valeurs positives de x^ plus grandes que i ; la valeur de z^ tirée de la seconde ou de la troisième, est positive ou négative, suivant qu'on prend pour x un nombre pair ou impair. En conséquence, l'équation ^;^=^-|-i satisfait à l'équation aux différences

pour toutes les valeurs de x> — 2, et au contraire à l'équation

Ar=^7(— ^•— l/^'+4r) . (i4)

pour toutes les valeurs de x < — 2. Quant aux équations

HD i.ivne viii. — cdapitre ut. ^B

'«Htts satisfont alternativement à l'équation (i3) et à ']fi%iation(t4).

liaisons aiialogups à celles qui existeot entre les intégrales singulières et les intégrales générales des équationï différentielles; mais cette analogie, comme ou l'a déjà dit, n'est que partielle et incomplète. Si l'on considère comme la propriété caractéristique des intégrales singulières, de ne pouvoir être complétées par une constante arbitraire, l'analogie s'évanouira; mais, d'autre part, on peut, ainsi que M. Poisson l'a encore fait voir, assigner à certaines équations aux différences des intégrales singulières, qui ne rentreut point dans les intégrales déterminées par les méthodes précédentes, . et qui sont analogues aux intégrales singulières des équations différentielles , précisément d'après ce caractère de ne pouvoir être complétées par une constante arbitraire.

En eflèt , le calcul du a" 477 s'applique aux équations aux différences comme aux équations difTërentielles, et l'on en conclut également que toute valeur de ^ en fonction de x, qui jouit de la propnété de satîafiiire h une équation proposée, aux différences finies, en même

temps qu'elle rend infini le coefficient différentiel — ^j

ne peut être qu'une intégrale singulière de la proposée, dans le sens qui vient d'être expliqué. Soit proposée l'équation

^3" qui a pour intégrale complète

J fi * A /«

ÉQUATIONS AUX DlFFiftENCES FlNIESi 501

a désignant la constante arbitraire : on en tire

dtsy 3 I

valeur qui devient infinie , si l'on pose

Quand on élimine h.y entre cette équation et la pro-

posée, il vient

On satisfait à cette dernière équation en prenant

mais le premier couple ne satisfait pas à la proposée, tandis que les deux dernières valeurs de ^9 qui y satisfont , donnent deux intégrales singulières de l'équation (i5).

L'équation (16) qui détermine les valeurs de la constante arbitraire a pour tout système de valeurs initiales attribuées à x et à /, comporte, en général , trois radnes inégales ; mais elle acquiert deux valeurs égales lorsque les valeurs attribuées à ^ et à^ vérifient l'intégrale singulière.

La valeur ^^t=:o satisfait à la proposée, mais n'en est pas une intégrale singulière , puisqu'on l'obtient en faisant a?=o d^ms l'équation (16).