nLmrÉÈ ▼ni;* u^iCHàPitMi'urjvv

^ É^. Vr&ïùfâB pour exemple féqotf ion

i^;^«±so : - • ' («7)

OD en. ÛÉt^j'fÊt VéËmîm6M'^Wi^¥é^^^ fiireiices i /, - 'L\^

^ denenf ^ étam.réioliie, ; ^ . fi

■ • V^'^ rIi:-.irË V^^S±if 'Y''-i''* '••'.'•**•'"•

\ / ^ J **î;;:t ' ïi . >î*:;.'.

Il est dair que la oûii8tÉiiclioii,arithmëti^^ o^te éqoatioii anx dîffibviioes dame due infinité de séries disdDcM peiiir lin mène qMèUe'^ el ponrtanl on iie peut paa, en fittaantf nrier la ^xmr tante a dans l'ëcpùtlion (1 j), en déd^iile indiirecAenieDt ^àotm iirtégraleir de Péqtm Foàf lé-

jioilt <Mte ménfe équation (t^) |||M^^'H^^ jH^ «i

Taleon . . , ^ • *'

(qui sont les seules qu'on en puisse déduire, lorsqu'on s'astreint à traiter^ comme une fonction continue dex), mais encore une infinité d^autres valeurs comprises dans la formule générale

X étant une fonction de x, assujettie seulement à donner des nombres entiers pour toutes les valeurs entières de X. La multiplicité indéfinie des fonctions comprises dans cette formule , correspond à la multiplicité indéfinie des séries que l'on peut construire arithmétiqoement, au moyen de l'équation aux différences.

618. Nous avons supposé jusqu'ici/ pour plus de stsiplicîté y A^ir = I : admettons toujours que cette différeuce.soit constante, mais laissons^en ]a valeur numérique indéterminée L'équation

yz=,ax + a* , (i)

que nous avons prise pour exemple^ eonduira , par l'éiimination de la constante a, à l'équation aux différences

La aeconde équation (4) sera remplacée par et celle-ci «ura pour intégrale

d'où résulte cette autre intégrale complète de Téquation(i),

Si maintenant on suppose que tix , et par suite ^y , deviennent des quantités iafiniment petites, Féquatien (19) se changera dans l'équation difierentielle

dy^ dr . .

st l'intégrale (r), dans laquelle la différence Aj? n'entre pas,, sera encore l'intégrale complète de cette équation différentielle, à cause de la constante arbitraire qu'elle comprend. Mais comme l'intégrale (20) renferme une fonction

de L'espèce de celles que nous avons indiquées au n° a,

504 UVRK VIII. CHAPITRE llf.

laquelle reste discontinue, même quand l'exposant varie d'une manière continue , on ne peut faire que la yalaur de ^9 tirée de Tintégrale (ao), soit une fonction continue ; et ainsi cette intégrale n'a aucun sens par rapport à l'équation (12 1), à moins qu'on nç fasse disparaître la fonction discontinue, en assignant à la oonstMite

arbitraire 6 la valeur zéro. Dans ce cas, le terme-—

s'évanouissant aussi à la limite, l'équation (ao) donne

valeur qui satisfait à l'équation (ai), et qui en est une intégrale singulière, puisqu'on ne peut la déduire de l'équation (i) par une détermination convenable de la constante arbitraire a.

Le même résultat se verra peut-être mieux encore, si l'on remplace la fonction

comme cela est permis, tant que .r désigne une variable discontinue assujettie à croître par intervalles constants A.r. Assigner la valeur de cette dernière expression quand \r s'évanouit, ce serait assigner la limite vers laquelle elle converge quand \r converge vers zéro. Or , cette limite est, par la nature de la fonction, indéterminée et inassignable. On sait seulement

que le facteur cos — reste toujours comptns entre les limites -[-i ^^ — *» ^^ P**" conséquent, que la quantité indéterminée & OQS~- dliqianU toujours , lorsqu'on prend It ccr*^ fc»'^ wa.

619. Ces faits d'analyse s'accordent parfaitement avec ce que nous savons sur la nature des fonctions continues et discontinues, et sur le passage du fini à Tinfiniment petit par la considération des limites, sans qu'il y ait lieu d'en conclure en thèse générale, comme l'a fait Lagrange Q , que , « dans le passage du fini à Tinfiniment petit, il faut supprimer entièrement tous les termes qui peuvent contenir l'infiniment petit, quoique ces termes puissent n'être pas eux-mêmes infiniment petits »; ni surtout que « si le passage du fini à l'infiniment petit peut être admis comme moyen mécanique de calcul, il ne peut servir à faire connaître la nature des équations diiférentielles. »

Nous sommes seulement autorisés à conclure de ce qui précède, que, parmi les intégrales complètes, en nombre infini, que comportent certaines équations aux différences, toutes, à l'exceptioa d'une seule, contiennent des fonctions de bjc qui deviennent discontinues pour Aj;z=:o : car, s'il en était autrement^ on en déduirait, en passant à la limite, plusieurs intégrales corn* plètes d'une équation différentielle correspondante, ce qui est absurde. Quand cette équation différentielle admettra une solution singulière, celle-ci pourra se déduire , tantôt d'une intégrale singulière de l'équation aux différences , tantôt de l'une de ses intégrales complètes, moyennant qu'on supposera nulle la constante arbitraire que celle-ci renferme, pour supprimer la fonction de Sx dont la présence empêchait le passage du fini à l'infiniment petit.

(') Leçons sur le calcul des fonctions , p. 3o3 et 3o4 de Tédit. de 1806.

%ê6 ' ' •^^' inrMf ¥if ! •'*^f'Éi<||piy«l».;H'a

• VèjgÊtàiM ••; \'"-i -••'•■ ii^t/i^t'iishstx- - .<■•-.

ellK ftolrtiOM abfdnrai éi réf^

lù Tott tire et pur suite

Ibb W praHÙer couple ne saitis&lt pK à reqnabon (^3), et rintit^ $r$lèMie Je Tdknrs ne nevt lenrôeatcr âne

iSMict«Mi çiMitinne : «înâi « FèifnaLlîf» ji3^ ne conporte |Ni6^ 4e tiJndan sèn^iidEim ^ Kme ^p^ rêipnlMi (s^; qui Wi oicte^piiMiii en ;ftiinet^f «ne.

%««%«»«^ W« Wb» « «% v» « * «*«« »« w

«%«•>«%%»%%« %«t'<»««%%««k«««V««%«««»-%W%«»tM v»\»i«»V%V*>%%«r%V%«AV«l»««A »»