EQUATIONS ENTRE DES VARIABLES CONTINUES

riodiques telles que

assujetties à reprendre les mêmes valeurs chaque fois que X augmente de iix^ et d'ailleurs arbitraires : la différence Af étant nulle^ en vertu de cette hypothèse, pour toutes les valeurs de x, de la même manière que si 9 désignait un paramètre constant. Tant que la variable y n'indique que les termes successifs d'une série dont x est l'indice, cette distinction n'est d'aucune importance, puisque la fonction f , aussi bien qu'une constante proprement dite, conserverait toujours la même valeur numérique pour toute la série des valeurs de^; mais quand au contraire x ely sont des variables continues, la fonction 9 varie avec x\ et il ne s'agit plus que de la déterminer de manière que la courbe dont y est l'ordonnée se confonde avec une courbe tracée arbitrairement entre les abscisses x^^x^-^i^x.

Soit F(x^j^,a)=o l'intégrale d'une équation aux différences du premier ordre, avec la constante arbitraire

a : elle deviendra

F(^jJ>?)=û, (3)

quand on y remplacera la constante par la fonction arbitraire ç. Nous supposons que l'intégrale F=o ne contient pas de fonctions telles que ( — 1)% incompatibles avec l'hypothèse de la continuité des variables

Désignons par tx l'ordonnée de la courbe tracée arbitrairement entre les abscisses x^^Xo-^-^ : on aura, pour les valeurs de x comprises entre ces limites ,

F(j:, fx^ ç) == o , d'où <p = ^x ,

4> désignant une fonction déterminée et connue. Il suf-

510 LIVRE VJIl. GHÂ.P1TRE IV.

fira donc [livre V, chap. XII] de développer en série trigonomélrique convergente la fonction ^x donnée entre les limites Xo^iXo-^-iix^ puis de reporter cette série a la place de ç dans l'intégrale (3).

Si Ton avait l'intégrale seconde d'une équation du second ordre avec deux constantes arbitraires a^b, on en tirerait djeux équations de la forme

et en remplaçant a^b par deux fonctions périodiques

arbitraires 99919

Soit (entre les limites x^^ x^-^ Ax) j=zfx^ Xjr=(^x : il

viendra

F(ar, f^,f,^,9)=t=:o, F,(j:, f^,f,j:,<pJ = o, d'où

et il ne s'agira plus que de développer les fonctions données ^x^ ^i x en séries trigonométriques , pour les substituer ensuite au lieu de a^ b dans l'intégrale seconde. Le même calcul s'appliquerait aux intégrales d'un ordre quelconque, mais on a besoin de le modifier dans le cas où les différences de la variable x ne sont plus constantes.