Prenons pour exemple l'équation traitée ci-dessus

dont l'intégration, lorsque j: et jr sont regardés comme des variables continues, revient à déterminer la fonction i^ par la condition

.L(2^) = (ij;jr)^ —2. (4)

Nous avons trouvé qu'on y satisfait en prenant

À^UATIONS EJMTBjE des VARIABLES COJ^TmUES. 511

mais, ici, les constantes x^j c perdent la signification qu'elles avaient lorsque x^y désignaient les termes correspondants de deux séries distinctes; et l'équation (5) étant regardée comme une solution de Téquation (4), on peut, sans restreindre l'étendue de cette solution, rem-

placera'** par c, ou, ce qui revient au même^ poser

Xo=:\. On a ainsi

j=znju:=c*+tf-'. (6)

Remarquons maintenant que cette équation résulte de

l'élimination de / entre les deux équations

dans lesquelles ; est une variable qui croît par différences constantes, égales à l'unité. On y peut donc remplacer la constante c par une fonction périodique de i, f (sin 2 TTZ, cos iT:i)y qui ne change pas de valeur quand / augmente de l'unité : ce qui revient à écrire, au lieu de l'équation (6),

. • , r /^ . aîcloff^ sTrloffjcXT*

v==d;j:= 9( sm— = — 2—, cos —, — 2 )

•^ ^ L V ïog 2 log 2 yj

[/ . 27rlofi:^ 2TCioff j?"\n— « , .

Toutes les formes de la fonction ^, comprises dans la précédente formule, satisferont à l'équation (4).

Il est facile de voir que l'on pourrait construire la fonction if dans toute l'étendue de son cours , en vertu de l'équation (4)? ^i 1'^^ traçait arbitrairement la courbe dont cette fonction est l'ordonnée, entre les abscisses Xoy '^Xo^ Xo désignant une abscisse quelconque, différente de zéro. Soit fx cette valeur donnée de ifx^ entre les limites indiquées ci-dessus : on aura

f(2')=<p2'-h-^., d'où cp = <!>/. ((p)

lJMiiA« MiiiiiiM'«i*can qiiM'(iiti|(fatawÀ! râU)^ «141) «MÀiiclRaMellM Mi«tldln<Mflii*»if «it«

lllli Bâta»-'*-' >■' ■i«i/..,v.'.i...v :• ■ i;u'

■ log a log a

On pourra donc esprimer ç en série trigonomélriqtie de (, remettre pour i sa valeur en .r, et substituer dans l'équation (7) cette valeur de ç, au moyen de quoi la fonction ^x aura reçu l'expression qu'elle comporte.

Les deux termes du dernier membre de l'équation (■y) se réduisent à l'unité pour ,i:=o, à cause que les quantilés de la forme sin (±co J, cos (±00 ), quoique indéterminées, sont comprises entre des limites finies [6ifl]; d'ailleurs on tire directement de l'équation (4), ^{0)=^, quelle que soit la forme particulière delà fonction >f, pourvu seulement qu'elle soit assujetties rester constamment positive, condition sans laquelle la formule (7), dont le dernier membre est essentiellement positif, ne pourrait subsister.

En différentiant l'équatiou (4) par rapport à or, on a i]*'fax)r=((.x.'J'',r, d'où ij,'(oJ::;^o, quelle que soit la forme particulière de ta fonction <{,.

La formule (7) ne s'étendrait pas aux valeurs négatives de X, parce qu'en effet la fonction <p.ï: ne peut être construite au moyen de l'équation (f) que pour les valeurs positives de x^^a', après qu'on s'est donné ta forme de la fonction îx entre les abscisses .r^ %x„ x, désignant une abscisse positive.

Ajoutons ici une remarque essentielle et dont il ne paraît pas que les auteurs qui ont traité de ce point d'analyse aient tenu comptp : c'est que la formule (7),

iQDATIONS ErîTRE DEK VABIÀBLES tlOlNTlNlIES. 513

malgré sa généralité, ne satisfait pas aussi généralement que possible à l'équation (4); précisément parce que l'emploi de cette formule suppose que la fonction ^ reste constamment positive , et par suite que la fonction £r, donnée entre les limites x^^ a^o? est elle-même constamment positive entre ces limites. Or, rien n'empêcherait de construire la fonction ^ hors de ces limites, en vertu de l'équation (4), quand même la fonction îct serait constamment négative ou passerait du positif au négatif entre les limites x^^ ix^,

623. On a ramené à l'intégration d'équations aux différences, entre des variables continues, la détermination des fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux différences partielles ; et quoiqu'il ne paraisse pas que ce rapprochement mène à des applications vraiment utiles, il convient de l'indiquer pour l'enchaînement des théories. Un seul exemple remplira suffisamment ce but.

Soit l'équation

jg=:(p(x+ ay) +^{x — ay),

provenant de l'intégration de l'équation aux différences partielles du second ordre

et dans laquelle on se propose de déterminer les fonctions arbitr£^ires (p,^, par la condition d'avoir I** pour y=imx^ z=:fx*j pour yz=:.nx^ z-=zfx\

ce qui revient à donner les courbes d'intersection de la surface dont ^,^,2 désignent les coordonnées courantes, et de deux plans menés suivant l'axe des z. On aura

fx = cp[;r(i +/im)] 4- ^\pc{\—anC)\ , ïx = ^\x{\ -h a/i)] + ^^i — an)\ ;

et si l'on pose successivement

ces équations prendront la forme

''\\—amJ ^\x — am J ^'.

ff — î^ — )=? ( -^j +^^-

\i — anj \\ — an J ^

En combinant ces équations par voie de soustraction,

on élimine la fonction ^ et Ton a

Vi — am J \\ — an J '^ ^i — amj \i — anJ ou plus simplement

en posant

i+a/i (i+am){i — an) ,

.(>=a, ) (^ ( = Ai

I — an (i — am)[i+an)

et en désignant par Yu une fonction dont la composition est donnée. Or, il est clair que l'équation (9) peut se ramener à une équation auj^ différences, comme l'équation (4) du n" précédent, et se traiter d'une manière analogue. Ainsi, quand on régarde u et 92/ comme des fonctions de l'indice /, qui croît par différeoces constantes égales à l'unité, on a

Après que l'intégration indiquée par le signe 2 aura été effectuée, on i^emettra pour / sa valeur en w, et l'on aura ç/# exprimé en fonction de // : cette fonction devant contenir, au lieu de constante arbitraire, une fonction arbitrairi^ qui ne change pas de valeur par le changemont do n en A//, ou une foncùon de la forme

ÉQUATiOPTS FNTRR DES VARIIBLKS CONTIINUES. 515' ^ / . 21C lofif U 2W log U\

V logA logA J

On remettra pour u^ dans 9^^, sa valeur en v^ et l'une quelconque des équations (8) déterminera la forme de la fonction <];.

Mais il faut bien remarquer que les données de la question ne font point connaître la forme de la fonction ^ entre des abscisses telles que u^y hu^^ et par conséquent ne conduisent pas à la détermination de la fonction arbitraire t;;^ qui entre dans l'intégrale aux différences de l'équation (9); sans compter que cette intégrale , quoique complète , peut ne pas avoir autant d'étendue que l'équation (9), ainsi que nous l'avons fait observer dans le n^ précédent, au sujet de l'intégrale de ré^uation (4). H faut donc regarder comme une simple transformation analytique, qui au fond n'avance pas la solution du problème, ce procédé pour la détermination des fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux différences partielles : procédé qui a occupé les géomètres, avant que les applications à la physique eussent fait envisager la même question sous d'autres faces.

624. Parmi les problèmes de pure géométrie, dont la solution peut se rattacher à l'intégration d'équations aux différences, entre des variables continues, nous citerons le suivant, connu sous le nom de problème des trajec" toires réciproques. On demande de tracer une courbe MM' {^fig* I o4 ) telle que, si l'on construisait la courbe NN' qui lui est symétrique par rapport à Taxe des j*, et si Ton imprimait à celle-ci un mouvement de trans* lation parallèlement à l'axe des^, elle couperait toujours la première sous un angle constant a=ja^;a^,r7^ étant

les tangentes aux deux courbes, menées par le point a où elles coupent Taxe des^.

Soient p^q deux points pris sur l'axe des ;r à égales distances de Torigine ; menons les ordonnées pm , qnn^ et traçons la trajectoire vv' qui passe par le point /i': l'angle v/i'y=zN/iç', puisque la trajectoire NN' s'est transportée en vv' en glissant parallèlement à l'axe des /; l'angle \inq est égal à Mmp^ à cause de la sj^tiiétrie des courbes MM', NN' par rapport au même axe; donc l'angle a/^^==«/^'^-|-^/^ v==a/^'^-|-^M/w/?. Mais on a aussi, par hypothèse, âr/i'vz=:a, et si l'on désigne par /i l'ordonnée de la courbe MM', par .r et — x les abscisses Oq^ Ofj il viendra

tang a/l'y ==^, t^ngUmp^jy^—^^,^

par conséquent la fonction y a: doit, d'après les conditions du problème, vérifier la relation

arc tongj^ + arc tangy^^-^ = a. (lo)

Posons

a + arc tang -p- =fr : (i i)

l'équation (lo) devient £t'-|-f( — .r)=o; et elle exprime que la fonction f , qui d'ailleurs peut être prise arbitrairement, est une fonction impaire.

On tire de l'équation (ii)

r-, I I — tangua. tang f:r^

tang(^a + fr) tang|a+ tangfr '

mais quand f^ désigne une fonction impaire quelconque, tang îx désigne aussi une fonction impaire quelconque : donc on peut écrire .plus simplement

jy^ I— tangua. fo:^ tangua H-fjt*