JÉQUATIONS ENTRE DES VARIABLES CONTINUES

et par suite

l-ungi..£.

taiig^a-f- fo l'intégration amenant une constante arbitraire.

Si Ton voulait rattacher cette solution au calcul intégral aux difTérenceSy on poserait

arctang-p;7^=/,, arc tang yrZ^) =^'+'> ^i+«=— -^ô d'où

et en éliminant /,

Yx'=- a + - x=z - CL + cx, a a 2

Les lettres a^b^c désignent ^ dans le cas de la discontinuité des variables, des constantes arbitraires qui deviennent, dans le cas contraire, des fonctions de / assujetties seulement à ne pas changer de valeur lorsque i augmente de l'unité ou lorsque x se change en — x, Donc^ dans l'équation

arc tang ^=z=-a-htf:r, (la)

c représente une fonction paire quelconque, et ex une fonction impaire quelconque de la variable x; au moyen de quoi les résultats exprimés par les équations (i i) et (la) coïncident. Ce raisonnement a la rigueur exigée, parce qu'on peut concevoir que le passage de la discontinuité à la continuité n'a lieu qu'après l'élimination de la fonction discontinue ( — j)'; mais on vient de voir qu'il est plus simple de n'y pas recourir.

§ a. Des équations aux diffëreuces mêlées.

625. On appelle équations aux différences mêlées celles dans la composition desquelles entrent à la fois les

coefficients différentiels et les différences finies d'une fonction, comme aussi celles dans lesquelles figurent les coefficients différentiels d'une différence ou les différences d'un coefficient différentiel. Des équations de cette nature se rencontrent, non-seulement à l'occasion de problèmes de géométrie qui ne sont guère que de pure curiosité y comme celui du n^ précédent, mais encore dans les recherches analytiques qui se rattachent à l'intégration complète des équations aux différences partielles, et à la détermination des fonctions arbitraires d'après des conditions physiques données.

Supposons, pour prendre un exemple, qu'une fonction fx soit assujettie à vérifier l'équation

Z^— /'(^-h2/)-*'[/i+/(^+î^0] = «> ('3} ^,/ désignant des constantes : si l'on pose^/2:==^, a/ — A>t, cette équation prendra la forme

et elle sera aux différences mêlées ^ d'après la définition que nous venons de donner.

On y satisfera en posant

y ^=zfx z=. A cosXr -f- B sin \Xy

A, B, \ désignant des constantes : car il vient en conséquence de cette supposition,

/or +/ (^ 4- 2 /) = 2[ A cos^(:p + /) -h B sin X(jr + /)] cos V, f^ — /(^4-2/)=2[AsinX(^-}-^ — BcosX(j; + /)]sinX/, /'^— /'(^+2/)=2[AcosX(ar + /) + Bsin X(x-f-/)]X sin V,

d'où, en vertu de Téquation (j 3),

2[A cos \{x 4- /) 4- B sin X(r 4- /)] p< sin X/— k ^ ces M] = o. Si donc on désigne par A,, B, des constantes indétenninecs, et par 1, I unt» des racines, en nombre infini, de

rëquation transcendante

X «in X/ — k* cos X/= o, (i4)

on pourra poser, à cause de la forme linéaire de l'équation (i3),

^=3 2. A, cos X/jp + 2.B| sinX^y

la sommation s'étendant à toutes les valeurs de Tindice /'.

La formule précédente donne