ïogxy-* — . • .±-^ —^ -hconst
32 LIVRK V. GHA^PITUt: II.
(logxy^"^ L(«-i)(iog^>-" "^ (/ir-i)(/i-2(logar)-— "*■•••
(n— i)(/i— 2)..3.2.ilogxJ (/i— 1)(«— a)..3.2.iy log x En posant af=jr^ on ramène l'intégrale
/af-^dx Ç dy
log:F 7 log/
En vertu de la relation z :r= logo:, on a anssi
En conséquence, les deux formules obtenues ci-dessus donneront, sans nouveau calcul, par la permutation des lettres z et x^
. iff n n(n — i)
af'ef^dxz^—Xaf' a^'' +-^ — - — -^jt»-' — .•.
± -^^ ^—^ + comt. {a)
/ef^dx r I a z^ — fi**l I -4af L(« — i)a:^' (« — ') ('* — a)^::»-» ' ' '
a||2! ^1 ^£Zl r^'dx
(/l — l)(/l— 2)...3.2^J (w — \){h 2)...3.2.iy X
Puisque les intégrales
y>'-'(logx)"fltr, faf^'dx^
peuvent toujours s'obtenir sous forme finie, quand n est un nombre oatier positif, il est clair qu'on peut assigner aussi en termes finis les intégrales
ffx.{\o%xydx^ Jfx.tf^dx^
y* désignant une fonction algébrique, rationnelle et entière.
314. Changeons a en a\/1Zi dans la formule (a); remplaçons l'exponentielle imaginaire par sa valeur en sinus et cosinus, et identifions séparément .les parties
réelles et imaginaires des deux membres , nous aurons : , sinaxV n(/i — i) /i(/i— i)(n— a)(n— 3) .
a \^ ar ar
a {a ar j
, cosaxT wf/i— i) /iC/i— i)f«— 2)(/i-3). „ .
sino^fn /if/i— i)f/i— 2) , 1
a \a ar j
On trouverait aussi toutes ces formules directement ,
en appliquant aux intégrales des premiers membres la
règle de Tintégration par parties.
On ramènerait de même les intégrales
/cos ax.dx Ain ax.dx
à dépendre des intégrales plus simples
/cosoor.flKr rsvnaxAx
L'intégration par parties donne encore
/, - «"'cosi^ b r . , , e"cosoa:.aîF= h- 1 e^sm ox,ax.
a aj
/é" sin bx b /* c" sin bx.dx-zzi / e"' co$ bx.dx.
a aJ
équations d'où l'on tire par l'élimination
. , , aûnbx-^b cos bx c"* sm hx.dxzzz ; r- .c" -|- const.
/, , a cos bx-\-b sin hx ef" cos bx.dx = s rr . ef^ + corist.
D'ailleurs on tirerait de la formule (a) les valeurs des intégrales
fx^e^ cos bx.dx ^ faf^ef^ sin bx.dx ^ en y remplaçant a par a-icby/'^^ mettant pour l'exponentielle imaginaire ^^*v/^ sa valeur en sinus et co-
sinus, et identifiant séparément les parties réelles et imaginaires des deux membres.
Donc on pourra assigner en termes finis les intégrales
/"désignant toujours une fonction algébrique , rationnelle et entière.
