BiX, cos \x =F'a

^^B30 LIVflK VJJI. CIIAIMTIIK IV.

^^Het par conséquent

En général, les intégrales de toutes les cquations linéaires, aux différences mêlées, s'expriment par des sommes d'exponentielles, de sinus ou de cosinus, qtii ont pour paramètres les racineti en nombre infini d'uni; équation transceadante, et qui sont affectés de coefficients constants et arbitraires.

Lorsque l'équation aux différences mêlées, linéaire ou non linéaire, est susceptible de s'intégrer, d'abord par rapport aux différences finies, ensuite par rapport aux différentielles, ou réciproquement, on dit qu'elle est aui liifférences successii'es ; et l'on peut concevoir qu'elle résulte immédiatement, ou d'une différentiation effecluét sur une différence, ou d'une différence prise après une différentiation. Ainsi rien n'empêcbe de regarder l'équation (lo) comme une équation aux différences successives; car, en la traitant, on a d'abord déterminé la fonction y X par une opération équivalente à une intégration aux différences, et ensuite on est remonté de la fonction /*.r à la fonction^ par une intégration proprement dite.

S 3. Noiioni sur le» équations aux différence* Bniea, ■ deun variabks indiipendanies.

626. Nous ne quitterons pas cette matière sans parler brièvement de l'application du calcul des différences finies aux fonctions de deux variables.

Soit z une fonction de deux variables x,y, qui croissent par différences constantes ia, 4>'; désignons par

J^QUATIONS A TROIS VARIABLES^ 521

A^Zy ^^z les difTéreqces partielles de la fonction Zj prises en faisant varier séparément x et /, et par Az la différence totale : on aura

A,A^z = A^A;b;5, z + ^=z + ^xZ + ^j(z-+- A^^z),

d'où A2=A,2-|-A^z-|-A,A^, résultat qu'on peut exprimer par réquation symbolique

Az = [(i 4- A,) (i + A,) — i>.

On trouverait de même

et^ si a désignait une fonction d'un nombre quelconque de variables a:, j'y z...., on aurait encore

Les différences Ax, A;^ étant supposées constantes, ou peut les prendre égales à l'unité [583] et admettre que les variables x^j passent par la série des nombres naturels : dans ce cas la fonction z,^ désigne le terme général d'une table à double entrée [f i6]; x et }" sont les indices ou les numéros d'ordre des deux entrées de la table y ou des deux bandes horizontale et verticale auxquelles appartient la case dans laquelle est inscrite la valeur z,^.

Quelles que soient les valeurs constantes ou variables des différences Ar,A;^, les différentes valeurs dont la fonction z est susceptible ne peuvent être déterminées et coordonnées en table, que si l'on détermine la série des valeurs par lesquelles passe la variable x et celle des^ valeurs par lesquelles passe la variable^. Appelons ij i les indices de ces deux séries : x sera une fonction déterminée de rindice /, et^ une fonction déterminée de l'indice f\ donc on pourra regarder z comme une fonc-

tion des indices i, i^ qui sont des variables discontinues, jouissant essentiellement de la propriété de croître par différences constantes, égales à Tunité. Donc réciproquement, dans tous les raisonnements indépendants de la forme de la fonction Z;^^, on peut , sans en restreindre la généralité, supposer Aar=i, A^^=i.

627. Pour indiquer seulement la nature des relations exprimées par les équations aux différences, dans lesquelles figurent plusieurs variables indépendantes, prenons l'équation très-simple

^*+t. jr+i = ^*, 7+1 -f- ^*./, (a)

et admettons que Ton donne la fonction z^^,^=i^x : on

tirera de l'équation proposée

et par conséquent

On déterminerait de même z^,,, z^^^^ et enfin z^.^,

jr ayant une valeur positive quelconque, et x une valeur positive ou négative.

Ija fonction initiale î^ reste arbitraire, et en outre les intégrations successives introduisent dans les fonctions f,^, f,j:, etc., des constantes arbitraires, dont la série prolongée jusqu'à Tinfîni, sera implicitement déterminée si l'on assigne la fonction z^^ pour toutes les valeurs positives de y.

Mais si Ion donne la fonction Zo^f=^^y pour toutes les valeurs de j^ tant négatives que positives , la fonction z,^o=fj^ ne reste arbitraire que pour les valeurs négatives de x^ et elle est au contraire implicitement déterminée pour toutes les valeurs positives de la même variable. En effet, Ton tire de l'équation (a)

lÉQUATlOirS A TROIS VARIABLES. 523

on déterminerait de même 23^, «^4^, .... z«^, x ayant une valeur positive quelconque, et^ une valeuj* positive ou négative.

On peut considérer l'expression de z^^ qui s'étend à toutes les valeurs de / et aux valeurs positives de Xj comme ayant une étendue comparable à celle de l'expression de la même fonction qui s'étend à toutes les valeurs de x et aux valeurs positives de / : cependant la première ne comprend essentiellement qu'une fonction arbitraire Yoj qui doit être donnée entre les limites — oo,-|-oo; tandis que la seconde comprend deux fonctions arbitraires j savoir f<y2; qui doit être donnée entre les limites — ao ,-|-30 ,et Fp^ qui doit être donnée seulement entre les limites o, -|-qo. Ce fait d'analyse tient à ce que les variables Xyj n'entrent pas symétri* quement dans l'équation (a), et il a de l'analogie avec le cas de réduction des fonctions arbitraires, dans les intégrales des équations ordinaires aux différences partielles, oii les plus hautes dérivées de la fonction ne sont pas de même ordre par rapport à chaque variable indépendante; mais il offre de plus cette circonstance singulière (qui ne nous paraît pas avoir été remarquée) que le nombre des fonctions arbitraires indépendantes varie selon le signe dont les valeurs numériques des variables indépendantes se trouvent affectées.

Pour les valeurs négatives de y^ la table des quantités Zgj se construirait sans qu'on eût besoin de connaître autre chose que la fonction t^ entre les limites ±00 : en effet l'équation (a) donne

^*,-i=fX^+i)— f«a:,. 2x,-«=fo(^+2)— afo(«îP+i)-f-f«^> etc. Au contraire, la construction de la table, pour les valeurs négatives de .r, exige qu'on assigne la fonction Fojr

524 UVAB Vili. «— CBM^nWM IV.

entre les limites ±co , et en outre la fonction ijc entre les. limites o, — oo ; car on tire de réquatioo proposée

équation anx difierenœs, d'oik Ton ne peut tirer js.,^ que par une intégration relative k /, qui amène ane constante arbitraire. Le psssage de sl.,, ^ à s^-a./ en amènerait one antre, et ainsi de suite.

Supposons que nous voulk>ns construire la table des valeurs de la fonction js«^ seulement pour les valeurs poûtives de Xjjr^ et qu'on ait z^«p=f«j£=i, pour toutes ks valeurs positives de x. Admettons de plus qu'on ail z^^^^=:i^ et x^^^^:=F^jr=o pour toutes les valeurs positives ée findioe j^ : il vient, par suite de ces hypothèses.

j(jr — i) (x — a) . . . (jT — x+ 0 -

c'est-à-dire que la fonction z^^ définie par Téquation (a\ est, en vertu des hypothèses sur les fonctions initiales^ le coefficient de a''-^ b^ dans le développement de la puissance (a-|-ô)'.

Si x^j' désignaient des variables continues, la sur&ce dont Tordonnée verticale est z,^^ pourrait être construite pour toutes les valeurs positives de .r, moyennant qu^oa donnerait la valeur de la fonction pour toutes les valeurs de^* et pour les valeurs de .r comprises enti'e o et -|-i, ou la bande de la surface ix>mprise entre le plan des yz et un plan parallèle mené à la distance x= i . En