Considérons encore l'équation

à laquelle on peut donner la forme

et qui est analogue à l'équation des cordes vibrantes

Il y a ceci de remarquable que l'intégrale générale de l'équation (^) aux différences partielles, savoir

Çy^ désignant des fonctions arbitraires, satisfait aussi aux équations (p) et (B) aux différences finies, comme on le vérifie sans difficulté.

La table des valeurs de la fonction z,^ se construit, en vertu de l'équation (p), pour toutes les valeurs des variables x^y^ si l'on donne arbitrairement, pour toutes les valeurs de x^ les deux fonctions z,,o^=foa:,z,,,=fi^; car il vient :

^r.3=f,(^+a)+f,:F+f,(;r-2)-f^(;r+i)-f„(:r-i), etc.

^*.-.=f«(a:+2)+fo^+f«(^-2)-f.(^+i)-fi(^-05®^<^- Avec les mêmes données on déterminerait dans l'intégrale {£) les fonctions f et ^ ; car on aurait

<p:r + ijar == i^Xj ^x + ^x — 2) = f , (^ — i),

d'où

^x — ^x — 2) = fo^ — f,(a; — i),

équation aux différeuces finies l'nlre ileus v.iriables, qui Tait connaître la fonction i{; et par suite la fonction ç.

Il vient f=^, si l'on a entre les fonctions f„, f, la relation

et alors l'intégrale prend ta forme

2..r = îLiJ' + X) + Uoi^—J^)- Admettons que la fonction s,^, ne soit donnée qu'entre les limites .l'^ai, j.'^/, mais que les fonctions z„^, ;,, soient assujetties à rester nulles pour toutes les valeurs de ^: on aura, en vertu de ces conditions,

f.{/+7) = -f=(^-7),i °" |f.(/+^)=f.(^-/> La première de ces équations nous montre que la fonction („, prise dans toute son étendue, est impaire; la seconde, que cette fonction est périodique; en sorte qu'il suffit qu'elle soit donnée entre les limites 6,1 d'une période, pour qu'elle doive être réputée donnée dans toute rétendue de son cours.

Quand x,j' désignent des variables continues, l'équation (z) n'est plus qu'uoe intégrale particulière de Téquation (?) à laquelle on satis&it plus généralement par la formule

^.,7 =t{.^+ xM.^,x)] + 'l'[^ — r>^.(^,r)] , (Z)

ij^x^, étant des fonctions arbitraires de J7,^, assujetties seulement à ne pas changer de valeur quand ces variables augmentent de l'unité.

Au lieu de prendre iLx=i, \yr=i, on peut supposer Sx=hy\y==ii, h désignant une constante quelconque; et suivant qu'on regardera les variables x , y comme discontinues ou comme continues, on exprimera encore par (z) ou par (Z) l'intégrale générale de l'équation