CHAPITRE HT

INTEGRàTION PAR LES SERIES. DES CAS SINGULIERS

QUE PRÉSENTE LE PASSAGE DES INTÉGRALES INDE- FINIES AUX INTÉGRALES DÉFINIES.

S I . Intégration par les séries.

315. Lorsqu'on peut développer une fonction différentielle en une série convergente dont chaque terme est intégrable, on obtient, sous forme de série, l'intégrale de cette fonction, que l'on complète en ajoutant une constante arbitraire : et si la série obtenue par l'intégration est convergente entre des limites données , elle fournira , à tel degré voulu d'approximation , la valeur numérique de l'intégrale définie de la fonction proposée, prise entre les mêmes limites.

Prenons pour exemple l'intégrale

dont il a été question à la fin du dernier chapitre : ou aura en série convergente

ax à^a^ crx , .

«"=1-1 1 1 ' -f-etc. (f)

I 1.2 1,1. Ci

d'où

/e'^dx /" , 1 1 a^x (?x^ \ , , = \dx\-'\'a-\ 1 ^-4-etc. , (a) X J \x 1.2 1.2.0 \

ou bien

e^'dx . a^x* a^x^ . ,«.

— = coïist. -4- log x + ax'\ ! 5-^ 4-etc. (oj

La série (i) étant convergente, il est aisé de voir

etc.

que la série (3) est convergente à fortiori pour toutes les valeurs de ^. En conséquence, on aura, pour des valeurs de même signe, et d'ailleurs quelconques, des limites x^j a\,

La formule serait en défaut , si les valeurs des limites étaient de signes contraires , auquel cas le terme

logf— ] devient imaginaire. Ceci tient à ce que la fonction sous le signe y éprouve une solution de continuité correspondant à ^ = o : cas singulier que nous avons déjà indiqué en exposant les principes de la théorie des quadrature^ [35 et 54] 9 et sur lequel nous allons revenir.

En développant en série le radical ^^i-r-c'sin'ç, on trouve

f \/ 1 — <;>8iB>9 . d(f ^=zfd^ I c* sin* ç — - — ^ c* sin* 9

r~x (r sm* 9 — etc.!