I II

= const. H- 9 c^ysin* çrfç — -^c^/sm^ <fd(f

Chaque intégrale partielle de la formeysin^^tp , / étant un nombre entier, s'obtiendra d'après les règles données dans le précédent chapitre. En outre, comme on peut supposer c' < 1 [3io] et qu'on a évidemment, pour des limites quelconques «Po^ ?f »

/ sin*'<fd(f<l flSp, ou 1 sin'^çrfç < 9, — ç^,

la valeur de l'intégrale définie

IlVTEGRATIOIf PAR LES SÉRIES. 37

— T c^l sin* W<p r^ c^l sm® ©tf© — etc.

se trouve développée en une série toujours convergente, et dont, pour l'ordinaire, la convergence sera très-rapide.

316. Quand on intègre par les séries une fonction difFérentielle dont l'intégrale sous forme finie est une fonction connue, on obtient (souvent de la manière la plus simple) le développement en série de cette dernière fonction. Ainsi l'on trouve

r dx A r I 1.3 4 1.3.5 6 . » 1

JVi-»^ J l 0^ M M.6 J

IX 1 . 3 j;* 1 . 3 . 5 J7^ , ,x

Si l'on détermine la constante arbitraire par la condition que l'arc soit nul quand le sinus est nul, cette série ne donne que les arcs compris entre d= ^lu; mais on peut concevoir que la formule donne aussi les arcs qui sortent de ces limites, moyennant qu'on assigne d'autres valeurs à la constante, ou qu'on change de constante chaque fois que la fonction sous le signejTéprouve une solution de continuité. Dans tous les cas, et quelle que soit la valeur de la constante, la série n'a qu'une valeur déterminée pour chaque valeur de x, tandis que la fonction arc sin x comporte une infinité de valeurs. T^ série est convergente ou divergente pour les valeurs de X numériquement plus petites ou plus grandes que Tunité.^

Le développement de la fonction arc sin x^ suivant les puissances de .r, que l'on vient d'obtenir très-sim-

plement au moyen de Tintégration par les séries, aurait amené des calculs compliqués, si Ton avait voulu faire usage de la formule de Maclaurin.

*3I7. Proposons-nous encore d'exprimer en séries la valeur de l'intégrale y^"* Va:, qui se présente sans cesse dans la théorie mathématique des chances : on a

^-' =1 1 5-4-etc.,

d'où

e"' dxzz^x — ^ H • -=• 5 H etc.,

développement toujours convergent* L'intégration par parties donnerait

/ ^-^^ar'/irzzzd""'. -5- -^ K I e^'^x^dxj etc.;

ce qui conduit à cette autre série convergente

/ e-'^dxzme-'^xXi-A 4- L-. -^^ 4. .1^^ — h etc. L

Enfin l'intégration par parties donnerait encore

//*i I I Pc^'^dx e-'^dx^: I - .e-"^xdx=: .e"^ / , J X 2jr 2j X* '

re-''dx fi , , I ,3 r^-^^dx

J -^=J ?""' -^- = -;?-^-' --J -^'^^-^ d'où

Je-' ^==co;«..- — [i-- + ^^,-^-^+etc.J ,

et en remarquant que tous les termes de la série devien-^ nent nuls pour .r=QO ,

/ e—'dx^iz I + 7— ;rr — 7 — ;r-,-|-etC. •

Cette dernière série finit toujours par diverger ; mais la

INTiGRATION PAR LES SERIES. 39

convergence subsiste d'autant plus longtemps que ie nombre x est plus grand; et il est permis [ti5] de faire usage de la portion convergente de la série , pour le calcul approché des valeurs numériques , attendu qu'on peut toujours assigner des limites aux valeurs des intégrales

et par suite à l'erreur que l'on commet en arrêtant la série à un terme de rang quelconque. Tel est l'avantage inhérent au mode de développement qui résulte d'une succession d'intégration par parties.