De la formule de Maclaurin

/r=/o)+/'(o)^-|-/''(o)X+/"'(o).^ + etc. («)

on tire généralement

ffxdx=:const. +y(o).-- -f-/'(o)— — hy'(o)- ^ 4- etc.

//^=/(o>7+/'(o>f^+/'(o)-^ + etc. («,)

Si la série [a) est convergente, la série (â,) l'est aussi : en effet, en arrêtant la première au terme de rang i ^ on commet une erreur exprimée par

Ox étant une valeur de la variable compiise entre o et a:; et par conséquent , lorsqu'on arrête la seconde série au terme de même rang, Terroir commise a pour valeur

Pour que les séries (a), (a,) soient convergentes, il faut et il suffit que les quantités négligées [e) , {e^ tombent

40 LIVBE V. — CHAPITRE III.

au-dessous de toute grandeur donnée, pour des valeurs convenables de ij et pour toutes les valeurs de j?, comprises entre les limites de l'intégration. Or, si cette condition est satisfaite à l'égard de la quantité {e) , elle le sera à plus forte raison à l'égard de la quantité (^,). 319. L'intégration par parties donne

l fxdx'=:xfx — lf*x.xdx^

j fx.xdx^-aff'x If^x.xdxj

I f"x,a^dxz=:'^x^J^x — ^ I f'x.a^dx^ etc.; d'où résulte la série suivante, due à Jean Bemoulli, fxdx-rizconsU +/r— -^fx» — +f^ 5 ^ etc. {/)

On aurait pu la déduire directemeut de la série de Taylor

F(a; + A)=F^-4-F'ar.~ + F*':p. — 4.F"a:.-^+etc.;

car si l'on fait dans celle-ci h = — a:, on en tirera F^=F(o)4.F'ar.-— F-'^p.— +F'":p.-^ — etc.

et en posant F'x=fXf,

C X s^ Cl? fxdx=iY{o) +fx. f'x. h/"^. 5 — etc.

Or, il est clair que F(o), ou la valeur Aejfxdx^ quand X est nul, est aussi la valeur de la constante arbitraire qui entre dans l'équation (/j.

320. Lorsque la fonction fx n'est pas susceptible de se développer en séries dont la convergence soit assez rapide , ou lorsqu'on n'en connaît pas l'expression analytique et qu'on a seulement une table de ses valeurs pour des valeurs de la variable indépendante suffisamment

INTliGRATlON PAR LES SERIES. 41

rapprochées , on peut toujours calculer approximativement l'intégrale j^^y ou l'aire de la courbe qui a pour ordonnée^, en divisant l'intervalle des limites de l'intégrale en parties suffisamment petites ^ et en prenant la somme des aires des rectangles qui ont pour base Ar, et pour hauteur^ soit l'ordonnée Jx^ soit l'ordonnée /{x-^-Sx). soit une ordonnée intermédiaire [33]. L'intégrale ffxdx pourra être calculée par ce procédé avec une approximation indéfinie, si la fonction /r a une expression mathématique d'où l'on puisse tirer les valeurs de^ pour des valeurs de x indéfiniment rapprochées : en admettant toujours que cette fonction ne devienne point infinie pour des valeurs de x. comprises entre les limites de l'intégration. Quand nous traiterons en particulier du calcul des différences finies et de leurs sommes , nous entrerons dans les détails nécessaires sur cette manière de calculer approximativement les valeurs numériques des intégrales.

I a. Des cas sioguHers que présente le passage des intégrâtes

indéfinies aux intégrales définies.

321.. On a remarqué, dès le commencement de ce Traité [54]« que, lorsque la fonction^ passe par l'infini pour une valeur ^ de a: , comprise entre x^ et x^^ de maolère que la différentielle /^é^i: prenne, pour .r = ^, une valeur infinie ou indéterminée, l'intégrale définie

*fxdx = Fjf, — FjTo j (5 )

conclue de l'intégrale indéfinie

ffxdx =.F.r 4- const. ,

ne peut plus représenter la somme des valeurs de la différentielle fxdx entre les limites Xo, x^ , ou la limite

42 LIVRE V. — CHAPITRK III.

vers laquelle converge la somme des produits /i.Aj;, obtenue en divisant l'intervalle x^ — x^ en parties A4^ de plus en plus petites. En effet, dans le cas dont il s'agit, cette somme ou cette limite cessent d'avoir une valeur iissignable, et, à proprement parler, n'existent pas. Ainsi, pour donner des exemples très-simples de ce cas exceptionnel, on a

/dx I

^^—r= == log [x—l)-^ confit.^ d'où l'on conclut, en passant aux intégrales définies,

'*» <fe I I ,^v

o{x^iy—-î x-i' . w

ick

Mais si l'on suppose Ç > o et <x^, l'intégrale définie (6) a une valeur négative, tandis que la quantité sous le signe y*reste constamment positive ; ce qui montre bien , à posteriori , qne cette intégrale définie ne peut plus être considérée comme une somme d'éléments différentiels. De même, dans cette hypothèse, l'intégrale définie (7) prend une valeur imaginaire , tandis que la quanûté sous le signe y ne cesse pas d'être réelle.

Si pourtant, comme M. Poisson l'a remarqué, on ùAt passer la variable x entre les limites données par une suite continue de valeurs imaginaires [17] dont aucune ne rende infinie ou indéterminée la différentielle ^d[r, rien n'empêchera de considérer de nouveau l'intégrale définie (5) comme la somme des valeurs imaginaires qu'aura prises dans l'intervalle l'élément différentiel /ir^ir, somme qui peut être évidemment, selon les cas, imagi-