QUADRATURE DES COURBES PLANES
Ainsi Taire du triangle parabolique Omp (Jig. 78) est les deux tiers de celle du rectangle Opmq construit sur l'ordonnée et sur l'abscisse du point m. Cette proposition, découverte par Archimède, est l'objet d'un opuscule de ce grand géomètre, où il applique à deux tours de démonstration fort singuliers, l'un fondé sur des principes de statique dont lui-même était l'inventeur, l'autre sur la sommation d'une progression géométrique décroissante, la méthode de réduction à.l'absurde, qui seule pouvait, aux yeux des anciens, établir rigoureusement le passage du fini à l'infiniment petit [49].
En prenant pour l'équation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes.
a faire du trapèze elliptique OprhR (Jig. 77), dont l'un des cotés est l'abscisse Op=:x^ a pour valeur
qfo
On pourrait en conclure de suite^ ainsi qu'on le fait dans les traités élémentaires des sections coniques, le rapport du trapèze elliptique Opm& au trapèze circulaire OpnC^ pris dans le cercle concentrique à l'ellipse et dont le rayon est a (*). Pour arriver au même résultat en appliquant les règles ordinaires de l'intégration, on fera
Q) Archimède connaissait cette manière de ramener la quadrature de l'ellipse à celle du cercle , mais elle lui paraissait dépendre de lemmes difficiles à accorder ([eiire à Dosithëe , servant de préface au Traite de la quadrature de la parabole). Les lemmes dont il s'agit ne peuvent être que les principes de la méthode des limites.
l^a> — x>=^a:, OU X^ =:
d'où
/ i/a» — «a.^ziz: / txdxz=i- far*— - / i
dt
= - ^a:^ arc tang t + const.
' z= - xv'a^—x* — a' arc tang f 1 +const^
et par suite
y*« ^ , I . . I Vit ï/'a»— xA l/^ a>— «» . 007 = - ^K a« — :c»i+--û ( — aretang j o 2 2 \^2 ^ /
= -^ V^«»— «a + -a arc sm - ; 2 2 a'
ce qui donne enfin
bx . ab \ X anr ob , x
u=i — l/^tfa— X» H arc sm - = -^ -\ arc sm —
On en conclut que -— est Taire du quadrant elliptique
OAmB, et que tt ab est l'aire de l'ellipse entière.
Comme — est l'aire du triangle Omp^ celle du sec-
ab .
— su 2 a
