QUADRATURE DES COURBES PLANES

ce qui équivaut à

- I .„______ Cl -

V^x^ — «a . cir = -J7 V^^a— a» ' log {x+ V^x»'-a*)+consL ,

en comprenant dans la constante arbitraire le terme

En conséquence^ on trouve pour la valeur de l'aire hyperbolique Apm (Jig. 84) :

^/**^ , bx . ab. fx+\/x^—a^\

U^ZZL-Î \/^x*—a* . aJ7=: V^j;a— « a lOff ( )

a/ a !Àa 2 ^\ a /

^ ab

'à Donc

xr ab , fx y\

secteur 0/wA=: — log { - -♦- t )

ce qui entraîne comme conséquence que Taire comprise entre ITiyperbole et ses asymptotes est infinie.

L'aire de l'hyperbole dépend d'uue fonction logarithmique, de même que l'aire de l'ellipse dépend d'une fonction circulaire. L'analogie géométrique de l'ellipse et de Thyperbole correspond à l'analogie des fonctions trigonométriques et exponentielles, et de leurs inverses, les ares de cercle et les logarithmes.

L'équation de l'hyperbole équilatère, rapportée à ses asymptotes, étant

Faire de l'espace asymptotique compris entre les ordonnées qui répondent aux abscisses ^09-^9 ^ pour

valeur

a^ f^dx a^ . /'x\ , .

et si l'on prenda = l/r, ^0=^? "^ vient simplement

70 LIVRE V. — chapitre: V.

w=log X. Ainsi les logarithmes népériens peuvent être considérés comme donnés par les aires d'une hyperbole équilatère. C'est pour ce motif qu'on les a longtemps désignés par la dénomination de logarithmes hypei^boliques; mais cette dénomination était mal choisie, puisque, si l'on donne à la constante a une valeur convenable, la fonction Uj déterminée par l'équation (i)^ représentera également bien tout autre système de logarithmes. On sait en effet [64] que les logarithmes à base quelconque se déduisent des logarithmes népériens quand on multiplie ceux-ci par un module constant pour chaque base.

L'équation (i) cesse d'avoir lieu, ainsi qu'on l'a expliqué [99]. quand la valeur x=o^ qui rend infini le coeflScient de dx sous le signe yj tombe entre les limites de l'intégration. £n conséquence, on ne peut exprimer par cette formule l'aire qui serait limitée par deux ordonnées de signes contraires, appartenant à deux branches de la courbe.

On peut toujours passer, par des additions ou des soustractions de polygones rectilignes, de l'aire d'une courbe rapportée à un système de coordonnées rectilignes, obliques ou rectangulaires, à l'aire de cette courbe prise dans un autre système de coordonnées rectilignes. Telle est la raison pour laquelle la fonction logarithmique, qui s'offre immédiatement dans le calcul de l'aire de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, reparaît à la suite de diverses transformations, quand on rapporte l'hyperbole à ses axes.

340. En mettant l'équation de la logarithmique sous la forme j^=.^^ on aura