QUADIUTUBE DES COURBES PLANES

valeur qui se réduit à — i quand on fait x=^ — oo . Ainsi l'aire de l'espace compris entre l'ordonnée OB {fig. 79), la courbe BM' prolongée à l'infini du coté des abscisses négatives^ et l'asjrmptote OX', aussi prolongée à l'infini, a une valeur finie, égale au carré construit sur la droite OB.

La cycloïde étant donnée, comme dans le n"" 1 76, par le système des deux équations.

X =. R(ç — sin cp) , jr=z R(i — cos ç), on aura

u=l 7«tF=R'*/ (i — cosç)*cftp

= R'd <p — a sin 9 + j sin 29).

Ou prendra pour la limite supérieure de l'intégrale (f=inUj afin d'avoir l'aire comprise entre un arceau et la base de la cycloïde, ce qui donnera w=37uR*, c'est-àdire le triple de l'aire du cercle générateur. La formule qui précède s'étend d'elle-même à des valeurs quelconques de f et à la quadrature d'un nombre quelconque d'arceaux.

341. L'aire limitée par une courbe plane fermée est une quantité indépendante du système des coordonnées auxquelles on rapporte la courbe; et cette aire, que nous désignerons par U, est ordinairement celle que l'on se propose de déterminer dans un problème de quadrature. Si la courbe est algébrique, son équation F(^,^):=o donne au moins deux racines ^=fx^,^=faa:, correspondant à la même abscisse, et dans ce cas on a

U = / ' ( fi^ — i^^dx z=il ' i^xdx — / * Uxdx :

(^x désignant l'ordonnée de l'arc m^rii m^ {Jig.%o\î^x celle de l'arc nio n^ nii^ x^ et x,, les abscisses des droites

//2o/7o etm^jJi qui limitent la courbe parallèlement à l'axe des j-. Les arcs m^n^m^y m^ n^m^ pourraient d'ailleurs appartenir à des courbes algébriques différentes, ou à des courbes non algébriques, et éprouver dans leur cours des solutions de continuité du second ordre ou des ordres supérieurs. L'intégrale U se décomposerait sans difficulté en un plus grand nombre d'intégrales partielles, si la courbe fermée affectait des sinuosités, comme celles qui sont indiquées sur la^^. 8i.

L'aire d'une courbe, telle qu'on la définit dans le système des coordonnées polaires [i8o], ayant pour différentielle

sera donnée par la formule

rVcp,

dans laquelle il faudra substituer pour r^ sa valeur en fonction de 9 donnée par l'équation polaire. Si la courbe est fermée et comprend dans son intérieur l'origine des rayons vecteurs, de manière que, pour chaque valeur de cp comprise entre o et air, r* ait une valeur réelle et unique, il vient

\jSi courbe étant toujours fermée, et le pôle se trouvant dans l'intérieur de la courbe, il peut se faire, si elle offre des sinuosités, que, pour les valeurs de ? comprises entre de certaines limites, r^ ait 3 ou 5, ou en général un nombre impair de racines réelles. Au contraire, si le pôle se trouvait hors de l'enceinte formée par la courbe, /•* aurait toujours un nombre pair de racines réelles. Dans toutes ces circonstances qu'il suffit d'indiquer, l'in*

AECTIFIGATION DES COURBES. 73

tegrale U se décompose en diverses intégrales partielles, ayant chacune des limites particulières.

S a. Rectification des courbes.

342. Le problème de la rectification des courbes est une application importante du calcul intégral, au sujet de laquelle nous croyons devoir entrer dans quelques îlle éclaircissements que l'on néglige pour l'ordinaire.

En désignant par s la longueur de l'arc d'une courbe plane, dont x et fx sont les coordonnées rectangulaires, on a [174]

ds == \/i -f-Cf ^)» • dxj et par conséquent ^

*=/ V/^i + (/»j;)».éia7, (s)

x^ étant l'abscisse du point de la courbe, à partir duquel Tare est mesuré.

Pour que le coefficient de dx sous le signe / devienne infini, il faut et il suffit que f^x passe aussi par l'infini; mais dans ce cas même la formule (s) ne devient pas illusoire, si Jx conserve une valeur finie. Soit en effet £ la valeur de x qui rendy*'.r infinie : d'après ce qu'on a vu [32îi],yà; conservera néanmoins une limite finie, si le produit (x — Ç )/''^ converge vers une valeur finie ou vers zéro, pendant que x s'approche de plus en plus de la valeur Ç. Or cette limite est la même que celle du produit

(^—Ç)ï/n- (/'*)>; et par conséquent, dafts le cas où l'ordonnée de la courbe conserve une valeur finie^ quoique la tangente soit perpendiculaire h l'axe des .r, la formule (s) ne tombe pas en défaut.

Elle tomberait en défaut , mai| d'une autre manière, si fx et f^x devenaient imaginaires pour certaines valeurs de X et que cependant le radical l/i+(/'x)» restât réel. Si par exemple on avait

ou bien [339]

fx = -:cV^«a— I log[(.r + i/x»— i) -4- conj^. ,

la formule [s) donnerait

et la valeur de s demeurerait réelle, même pour des valeurs de X numériquement plus petites que l'unité, qui rendent y^ Çiifx imaginaires.