INTÉGRALES DOUBLES. C0BA.TURES

/ oomme constante. On indique cette double opération par

Si Ton pratiquait les intégrations indéfinies dans un ordre inverse, comme l'indique l'expression

fff{x,y)dxdj, la fonction F,(^,^) que l'on obtiendrait, ne pourrait différer de la fonction F(x,/) obtenue en premier lieu, que par l'addition de termes de la forme

©X + 1|;/ + const,^ qui s'en vont à la suite de deux différentiations partielles, Tune par rapport à x^ l'autre par rapport à jr.

L'expression (d) est celle d'une intégrale indé/inie double.

354. Revenons aux intégrations définies qui font l'objet spécial de ce chapitre. Au lieu de prendre l'intégrale

entre des limites j-o> Jx qui ne varient point avec x^ on pourrait la prendre entre des limites variables fo^;, <p, x; et alors Tintégrale définie

f{3c,y)dr ?•*

serait encore une fonction où la variable x entrerait seule. En intégrant une seconde fois par rapport à x^ entre les limites oTo, x^^ on aurait l'intégrale définie double

f"f^'''f{x^yydx=y.

Pour se faire une idée claire du résultat de cette opération, on peut concevoir que les valeurs extrêmes XojX, sont représentées (fig. 80) par les abscisses Cp^-, QPi ; les fonctions <Po.r, <p, j; par les ordonnées des lignes ou (les portions de lignes mjijn^^ m^n^m^\ enfin que la

fonctiony(j:,^)=2est représentée par l'ordonnée d'une surface courbe, élevée perpendiculairement au plan xj. En vertu de ces hypothèses, et d'après ce qui a été expliqué dans Tavant-dernier n**, l'intégrale V mesure le volume limité dans un sens par le plan xjr^ à l'opposite par la surface courbe dont z est l'ordonnée, et enfin par une surface cylindrique^ui a pour section droite le périmètre /7^o/^o m^ n^.

Plus généralement, si l'on désigne par A l'aire que

ce périmètre circonscrit, le rapport -^ exprime la

moyenne de toutes les valeurs, en nombre infini, que prend, pour tous les points {x^ compris dans la circonscription du périmètre, la fonction y (^,^) qui peut avoir une signification quelconque, géométrique ou physique.

Rien ne s'oppose d'ailleurs à ce que l'intégrale Y soit réelle, quoique la fonction y (.r,/) prenne des valeurs imaginaires, ou même reste constamment imaginaire dans l'étendue de l'intégration : et alors cette intégrale n'a plus de signification géométrique ou physique.

Menons parallèlement à l'axe des x les droites n^ q^^ n^q^^ qui limitent le périmètre; désignons par Jo^Jx les ordonnées O^oi O^x? et par ^^y^ ^^j les valeurs de l'abscisse X en fonction de y pour les portions de lignes n^m^rix^ n^m^n^ : nous aurons évidemment

355. Lorsque la fonction f{x^j) passe par l'infini ' dans l'étendue de la double intégration, l'intégrale double ne peut plus être considérée comme une somme d'éléments, et tous les raisonnements fondés sur cette con-

INTÉGRALES DOUBLES. GtTBATURES. 93

sidëration tombent en défaut. Ainsi, comme M. Cauchy l'a remarqué le premier, la double intégration peut donner dans ce cas des résultats différents, selon l'ordre dans lequel on effectue les intégrations simples. Prenons pour exemple l'intégrale double

pour laquelle le coefficient de dxdy devient infini, lorsqu'on fait x=Oj X=^* On a> en intégrant d'abord par rapport à la variable x,

et en intégrant ensuite par rapport à /,

Si les intégrations s'effectuent dans un ordre inverse, on a au contraire,

/*! dx J ^ii + x"^

en sorte que la différence des deux valeurs obtenues est

égale à air.

Désignons par F(.r,jr) une fonction telle que

rf*F(j?,7) ^ .

dxdy — Z^^'-^J' et soit

ou, ce qui est la même chose,

i^x,y)^ff{x,y)dy, ^x,y)=iff{x,y)dx x l'intégrale double

sera indifféremment représentée par

de façon qu'on aura en général, pourvu qu^y (a:,^) ne passe pas par Tinfîni , dans Tétendue de la double intégration,

Admettons maintenant que les valeurs a:=^lj .7^=% rendent / {^fX) infinie, et désignons par £ un nombre positif qui converge indéfiniment vers zéro : on aura, d'après l'équation précédente,

A la limite il viendra :

Pour obtenir la limite indiquée , on ne doit faire e =0

qu'après avoir effectué l'intégration par rapport à/,

atteuda [3a3] que la fonction i{^ {Xyf) devient infinie par

he« pour une valeur de y comprise entre les li-

IimÉGRALÉS DOUBLES. CUBATUBES. 95

Dans l'exemple donné plus haut, on a

y !, ëip ^^ = ^ H **"& 7 - "c tang(- 1)] ,

valeur qui se réduit à stu à la limite^ quand on fait £=o, ainsi qu'on Ta trouvé par le calcul direct de l'intégrale double, en prenant successivement les intégrales simples dans deux ordres différents.

L'intégrale simple

est du nombre de celles qu'on a appelées singulières : la quantité e étant regardée comme infiniment petite , ; tous les éléments de cette intégrale sont nuls, à l'excep- \ tion de celui qui correspond kj'=:'n^ valeur pour laquelle le coefficient de dj- devient infini.

En opérant dans un ordre inverse on tomberait sur Imtégrale singulière

[ç(^,7i + a) — ç(a:,T1 — ^ e)]rf^ = — aw.

S'il y a, dans l'étendue de la double intégration, plusieurs systèmes de valeurs de Xjj' pour lesquels la fonction y (x,^) devienne infinie, la différence entre les deux valeurs qu'obtiendrait l'intégraje double, selon l'ordre des intégrations simples, se composera d'autant d'intégrales singulières qu'il y a de ces systèmes de valeurs.

356. Quand la ligne m^n^nij^n^ (jftg'^^\ qui limite retendue de l'intégrale double

V=///(j?,7)rf/^,

est donnée par une équation en coordonnées polaires r= f ij), on peut prendre pour élément de l'aire dans l'étendue de laquelle la double intégration s'effectue, au lieu du rectangle infinitésimal dydx^ Taire /72p/2 limitée par deux rayons vecteurs Omn^ Op, faisant entre eux l'angle infiniment petit d^y et par deux arcs de cercles m^^ m^ l'un décrit du rayon 0/w=:r, l'autre décrit du rayon 0/i=r-j-â&'. La surface de cette portion de secteur circulaire a pour valeur

OU simplement rdr é/<p, en négligeant un infiniment petit du troisième ordre. £n conséquence, si l'on désigne par F (r, <p) ce que devient f (^,^), ensuite de la substitution des valeurs de Xjj en r, <p, il viendra

V=l j "^ F{r,(f)rdrd(f.

Lorsque la fonction F (r,?) se réduit à l'unité, l'intégrale y exprime simplement l'aire limitée par la courbe r=f9, et l'on a

ce qui s'accorde avec le n® 1 80.

Nous avons supposé, pour plus de simplicité, i"" que l'origine des rayons vecteurs tombe dans l'intérieur de l'aire limitée par la ligne r={<f; 2® que, pour chaque valeur de <p, r n'a qu'une seule valeur réelle et positive. Lorsque ces conditions ne sont pas satisfaites, les intégrales doivent être prises entre d'autres limites, qu'il est aisé d'assigner dans chaque cas particulier.

357. En général il peut se faire que par un changement de variables, correspondant géométriquement à un changement de coordonnées, le calcul de la double inté-

IirTéGRâLES DOUBLES. — CUBATURES. 97

raie y devienne plus simple; et en tout cas, il importe d'examiner ce que devient cette intégrale par un changement de variables. Soient donc a, ^ deux nouvelles variables liées à x^y par les équations

et posons

^=9jû?a + 9,ûfp, (^)

Pour chasser d'abord de l'intégrale Y la différentielle dy^ on remarquera que cette différentielle est prise en supposant X constant, et par conséquent dx=Oj ou

ff^dd 4- ?2^P = o.

Tirant de cette équation la valeur de d% et la substituant dans l'équation (/*), on aura

ce qui donne

y=ffFia,f,.^l^^^^dculz.

Maintenant il faudra prendre la différentielle dx en traitant a comme une quantité constante, ou en posant dans l'équation (e) dcc=o ,d'où dx^=^^d^^ et par suite

En opérant l'élimination de dxj dy dans un ordre inverse, on aurait eu symétriquement

expression qui ne diffère de la précédente que par le signe : or, comme l'intégrale

J/'dydx =i/'{<f,^, — <p,i)rfarfp , prise entre les mêmes limites que Y, est la mesure d'une

98 LIVRE V. GHàPITRE VI.

aire, qui mesure elle-même l'étendue de l'intégrale Y, on ne doit considérer que la valeur absolue .de cette intégrale^ et le signe du facteur ç.ij;, — <p,^, est indifférent.

Si l'on prend

a=r, P=9, x = rcos(fy jrzrrsinç, on a ç, = cosç, ij;, = sinç, 9, = — rsinç, ^.z^ircosç,

d'où

Çi^*. — ^J^i = rcos*ç + rsin* ç= r,

comme on l'a trouvé directement par des considérations géométriques, trop simples pour n'être pas présentées en premier lieu.

358. Afin de donner un exemple de l'application du calcul des intégrales doubles à la cubature des corps terminés par des surfaces quelconques, proposons-nous d'évaluer le volume de l'ellipsoïde à trois axes inégaux, dont la surface, rapportée à son centre et à ses axes, a pour équation

L'équation de la section de la surface par le plan xj

est

a donc,^ si l'on pose, pour abréger,

a la tranche de l'ellipsoïde, limitée par deux plans parallèles à celui des^z, et correspondant aux abscisses x^^x^ aura pour valeur

Or il YÎent

ce qui donne

La valeur de V reste rëelle pour des valeurs quelconques deXo, .r; inais elle perd sa signification géométrique quand on donne à Xo^x des valeurs numériquement plus grandes que a. En prenant x^=: — a^ x=za^ on a {tçabc pour le volume de l'ellipsoïde entier.

' § a. Aires des surfaces courbes quelconques.

359. Étant donnée une surface courbe quelconque S, si, par des points très-rapprochés pris sur la surface, on mène des plans tangents, ces plans se couperont de ma^aière à former un polyèdre, à faces très-petites, qui enveloppera la surface, et approchera d'autant plus de se confondre avec S, que les points auront été pris plus voisins les uns des autres. A une portion limitée de la surface S, telle que celle qu'intercepterait une surface cylindrique ayant pour section droite une courbe fermée, tracée dans le plan xj^ correspondra une portion limitée de l'enveloppe polyédrique, savoir la portion interceptée par cette même surface cylindrique. Cela posé, on entend par l'aire de la portion de surface courbe ainsi circonscrite, la limite û dont s'approche indéfiniment l'aire de la portion correspondante de l'enveloppe polyédrique, quand les dimensions des faces du polyèdre vont en décroissant indéfiniment, par le rapprochement indéfini des points de contact de la surface avec le polyèdre enveloppant.

Menons le plan tangent à la surface S au point (a:,/,z), et prenons le point de projection (jc^y) pour l'un des sommets d'un rectangle ayant ses côtés Ax, A7 respectivement parallèles aux axes des a: et des^r* [SSa]. Les plans menés par les côtés de ce rectangle, perpendiculairement au plan xj'^ circonscriront sur la surface S une aire Au, et sur le plan tangent en (x^j-^z) un parallélogramme dont l'aire aura pour valeur numérique, d'après un tliéorème connu de géométrie,

cosv

(v désignant l'angle aigu du plan tangent avec celui des xy), ou bien [^87]

V/x4.^.-4-^».A/Aa:.

Donc, par la définition même de la quantité , considérée maintenant comme fonction des coordonnées indépendantes j;,^,

(lu = v/^i ^p* ^q* .dydxy (w)

On tire de l'équation de la surface les valeurs des dérivées partielles /?, q en fonction de x^y : les limites de la double intégration sont données par le contour de la ligne qui circonscrit la projection sur le plan xj de la surface ou portion de surface dont il faut évaluer l'aire û*

Les éléments rfû peuvent être des infiniment petits du second ordre, même quand les dérivées /?, çr deviennent infinies, si d'ailleurs l'ordonnée z conserve une valeur finie [34a], ou si elle n'éprouve qu'une solution de continuité du second ordre.

L'ordonnée z et les dérivées p^ q peuvent prendre des

valeurs imaginaires, sans que les cléments dQ cessent d'avoir des valeurs réelles; et alors la formule (û) tombe en défaut, quant au sens géométrique.

Nous regardons Téquation (co) comme la définition de la fonction Q, de même que nous avons regardé [174] Téquation

comme la définition de la fonction s. La définition physique que l'on donne de la longueur d'un arc de courbe, en imaginant cette courbe formée par un fil parfaitement flexible et inextensible (ou plutôt par un fil dont la roî- (ieuret l'extensibilité sont inappréciables), ne comporte pas d'extension aux aires des surfaces courbes, à moias qu'il ne s'agisse de surfaces développables; et de là même nous pouvons conclure qu'elle n'est pas la vraie définition de la fonction s: car l'analogie mathématique des fonctions ^, û doit se retrouver dans les définitions de ces deux grandeurs, si elles sont tirées de ce qu'il y a d'essentiel dans la nature des grandeurs définies, et non d'un caractère accidentel ou secondaire.

* 360. Cherchons, d'après la formule (û), l'expression de la surface de l'ellipsoïde quelconque

J7* r* z* a* b^ c* uous aurons

de manière que, si l'étendue de l'intégrale çst limitée^ sur le plan xy^ par le contour dç l'ellipsç

x* jr*

et si l'on désigne par Q Taire de la portion de surface

située d'un coté du plau a^/^ ou la moitié de l'aire totale de l'ellipsoïde, il viendra

dydx.

Admettons, ce qui ne restreint point la généralité dé la solution, que l'ordre de grandeur des demi-axes a^b^c soit exprimé par

et posons

d'où

nous aurons

de façon que le calcul de Q sera ramené à celui de l'intégrale double

l'auxiliaire C étant déterminée par l'équation

Mais rien n'empêche de considérer les nouvelles variables Ç, 7), X, comme des coordonnées rectangulaires, et alors l'intégrale u pourra aussi être considérée comme exprimant le volume limité par le plan ^ y], par la surface

cylindrique

et par Tordonnée 2^ de la surface (2), prise positivement. Or, si Ton fait mouvoir un plan parallèlement au plan ^Y), dans le sens des ^ positifs, ce plan, en vertu des inégalités (i), ne rencontrera pas la surface (a) dans l'intérieur du cylindre (3), tant qu'on aura ^<i. Quand ^ deviendra égal à Tunité^ le plan mobile touchera la surface en un point situé sur l'axe des 2^, et ensuite il ha coupera suivant une série d'ellipses qui auront pour demi-axes

ces demi-axes devenant égaux entre eux et à l'unité, pour ^=c3o .

D'api*ès cela on peut encore évaluer le volume u en prenant pour élément du volume la différence infiniment petite de deux cylindres dont la hauteur commune est Ç, et dont les bases sur le plan Çy) sont deux ellipses ayant pour aires [338]

w.SH, 7r(SH-f-^^0.

Donc on a

rf.SH ^

et par cette considération ingénieuse, due à M. Catalan ('), l'intégrale double qui exprimait la valeur de u se trouve transformée en intégrale simple.

Maintenant l'intégration par parties donne

(*) Voyez h Journal de mathématiques de M. Liouvîlle, tom. IV, pag. 323 , et tom. V, pag. 11 S.

104 LIVHE V. CHAPITRE VI.

Soir

sinf il viendra

En faisant les substitutions convenables, on trouve que la valeur de l'intégrale définie - se compose de deux

parties : l'une donnée par les termes hors du signe /^ et

qui est égale à la différence des valeurs que prend la

fonction

(a«H-P'cos"ç — i)sin9

cos 9 V/^iTZ p» sin* 9 '

quand on y fait à la limite supérieure sin <p=o, et à la limite inférieure sin 9=a. Cette différence se réduit à

L'autre partie est formée de l'intégrale

^ 'J l/'flt'— P*Mn'9 ^ J V/a' — P'ho*

prise aussi entre les limites sin 9=Oj sin <p=a, ou 9z=o, <p=(ji,, en désignant par sin (jl la constante a, plus petite que l'unité. Renversons l'ordre des limites , et employons la notation des fonctions elliptiques, en posant pour simplifier

AIRBS DES SURFACES COUIIBES. 105

celte partie de la valeur de - s'exprimera par OU par

en remettant pour et sa valeur. En conséquence la sur- Ëice du demi-ellipsoïde a pour expression

n=irc«+pi. . [(a'-«»)E(*,jt) +c»F(*,tt)].

*361. Proposons-nous encore d'évaluer la surface convexe d'un cône oblique, à base circulaire; et à cet effet, plaçons le sommet du cône à l'origine des coordonnées (Jig* 86) et la base circulaire dans un plan parallèle à celui des yZj de manière que le point C, centre du cercle ^ tombe dans le plan xj- : on aura , pour les é(}uation8 de la base du cône,

et pour celle de la surface conique,

Çv+(7i^— Çj)'— p'^=o. (4)

Nous désignons par ^ l'abscisse OP ou la hauteur du cône, par m l'ordonnée PC du centre de la base, par p le rayon de la base CR^=CR,.

En tirant de l'équation (4) les valeurs de p^^ çr*, on a

Si nous posons, pour faciliter l'intégration [^57], J'==oLXj OL désignant une nouvelle variable, nous aurons djrz=:xdaL-\-aLdxj et pour le cas où l'on fait varier j^ en

106 LIVRE V. — GUAPITRE VI.

traitant x comme une constante, (iy=xday d'où

Effectuons l'intégration par rapport à x entre les limites .r=o, x=^, et doublons le résultat, afin d'avoir l'aire des deux portions de la surface situées de part et d'autre du plan xj^j il viendra

Les limites de l'intégrale sont

Y) -f-p Yi — p

a= — |— , a — — e— , correspondant à x=:Ç, et à

On obtiendra une expression plus simple, en posant

Y) — Ça=p COS9,

d'où

et il est facile de voir que cette intégrale rentre dans la classe de celles qui peuvent s'exprimer par les fonctions elliptiques.

En général, la quadrature des surfaces coniques se ramène au calcul d'une intégrale simple, comme celle des surfaces de révolution; car l'équation générale des surfaces de la première famille, quand on place, comme cela est permis, le centre de la surface à l'origine des coordonnées, étant [^49]

on a

dz . /r\ r .. /r\ dz

INTEGRALES TRIPLES. 107

et après qu'on a posé, comme ci -dessus,

il vient

û =^ff\/\ + (i];a — oÀffLy -+- (+'*)* • xdxdd

= -5/1/ 1 + (i|.a — af a)* + ( ^a)* .X^dcL. 5 3. Intégrales triples.