On n*est pas conduit, dans les questions de pure
géométrie, a considérer des intégrales triples^ de la
forme
M =ffff{x,x.'^dzdydx ;
mais, par contre, il est évident que des intégrales de
cette nature doivent figurer dans toutes les questions de
physique où il n'est pas permis de faire abstraction de
quelques-unes des dimensions des corps. Si, par exemple,
il s'agit d'évaluer le poids ou la masse d'un corps dont
la densité, variable d'un point à l'autre, a pour mesure
fix^y^fZ) au point dont les coordonnées rectangulaires
sont Xyjr^z^ ce poids ou cette masse seront mesurés par
l'intégrale M, dont les limites devront être choisies de
manière à comprendre précisément l'espace occupé par
le corps. Si l'on divise M par le volume du corps, ou par
l'intégrale
y=/ffdzdydx,
prise entre les mêmes limites, on obtiendra la densité moyenne du corps, ou la valeur moyenne de la fonction /'dans l'étendue de la triple intégration. Ce sont là autant de conséquences manifestes de la définition même de la fonction y* [i3o], et de l'hypothèse de la continuité de la matière, sur laquelle cette définition repose. Nous donnerons par la suite quelques éclaircissements sur l'interprétation que cette théorie doit recevoir, quand on
considère les corps comme des systèmes de particules disjointes.
Si la fonction y mesurait une température, le rapport
=r- serait la température moyenne du corps, et ainsi de
suite.
La première intégration par rapport à z aura lieu entre des limites qui sont des fonctions des deux auti*es variables indépendantes x^j^ et qui représentent les ordonnées (perpendiculaires au plan xj) des surfaces ou portions de surfaces par lesquelles le corps est limité. L'étendue des deux intégrations subséquentes par rapport à a: et à ^ sera celle de l'aire circonscrite sur le plan XJ par l'intersection de ce plan avec un cylindre tangent à la surface du corps ^ et dont les génératrices sont parallèles aux z.
L'ordre des intégrations simples est indifférent, quand la fonction j\x^y^z) ne passe point par l'infini dans l'étendue de la triple intégration : autrement on tombe sur des singularités analogues à celles qui ont été remarquées au sujet des intégrales doubles.
363. Pour prendre, dans l'étendue de l'espace occupé par un corps, une intégrale définie triple , il convient souvent de substituer au système des coordonnées rectangulaires un système de coordonnées polaires dont remploi est d'ailleurs naturellement suggéré par les besoins de l'astronomie et de la géographie. Imaginons uu plan fixe mené par l'origine des rayons vecteurs, et ua n^on fixa tracé dans ce plan ; la position d'un point dans 'ttiMt déterminée lorsqu'on assigne i*" la longueur a VBCteur; a* l'angle 6 que forme le rayon vecdroite perpendiculaire au plan fixe;
