INTÉGRALES TRIPLES

3* l'angle ^j^ que la projection du rayon vecteur sur le plan forme avec le rayon fixe. Si Ton prend pour plan fixe (ou ^XsLW JoncUimental ^ comme quelques-uns l'appellent) celui des x/j et pour rayon fixe le demi-axe des X positifs, on passera des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires au moyen des formules x=rsinôcos^, / = rsinQsin^|/, 2=:rcos6. Dans le système des coordonnées géographiques, l'angle i( correspond à la longitude, et l'angle 0 est le complément de la latitude, quand on suppose l'origine des rayons vecteurs au centre du globe. Le rayon vecteur décrit un méridien lorsqu'on fait varier l'angle 6, l'angle ^ restant constant, et il décrit un parallèle lorsque 6 reste constant et que l'angle i{/ varie.

Concevons une surface sphérique ayant pour centre l'origine O {Jig» 87) et pour rayon OR=r, à la surface de laquelle on prend deux points infiniment voisins /7z,v; de façon qu'on passe du point m au point v en faisant varier 0 de fi/B et ^ de d\. Les points m^ v sont deux sommets opposés d'un quadrilatère sphérique, formé par deux arcs de méridiens infiniment voisins m\L^ /2v^ et par deux arcs de parallèles aussi infiniment voisins mn^ p. On a m\L=.n>è=rd^j etmn (qui ne diffère de p que par un infiniment petit du second ordre ) = mpd"^ =rsin 0 d^. Donc la surface du quadrilatère sphérique, que l'on peut prendre pour un rectangle quand on néglige les infiniment petits des ordres supérieurs au second , a pour valeur r^ sin ^d^d^. En multipliant cette aire par dr^ on a le volume d'un élément de la pyramide Omiiv(4. Le volume entier du corps se décompose en éléments ainsi définis, et par conséquent

M==^F(r,Ô,il/)r'rf/sin 8^/84,

F(r,6,4') étant ce que devient la fonction f{x^^z) par la

substitution des valeurs de x^jr^z eu r^^^^.

Le volume du corps, ou l'étendue de l'intégrale a

pour mesure

V==^r*rfrsinWa4.

Si l'origine desrayous vecteurs est dans l'intérieur du corps ^ et si le corps est limité par une surface convexe en tous ses points, ou du moins par une surface de forme telle que chaque rayon vecteur ne la rencontre qu'en un seul point, l'équation de cette surface est de la forme

la fonction f n'admettant qu'une valeur réelle et positive pour chaque système de valeurs de ô et de ^. Dans ce cas

^sinG^/Q^.

Si la surface enveloppée avait une forme différente, ou si l'origine des rayons vecteurs était autrement placée, il faudrait déterminer les limites des trois intégrations simples par une discussion spéciale pour chaque cas, et qui ne peut offrir d'ailleurs aucune difficulté.

L'intégrale double

sinO^j^ij/

a pour valeur [\t: ou la surface de la sphère du rayon i, comme cela doit être.

* 364. Le calcul d'une intégrale triple peut se simplifier beaucoup par un choix convenable de variables ou de coordonnées. Soient donc a,p,y trois nouvelles variables liées à x^y^ z en vertu des équations

INTéGUALES TRIPLES. 111

et posons

dx = 9.É?a 4- ?,^P -h 93^T. is)

dy = \M + ^'arfp + +3rfy, (A)

rfs =x*,d^a+xJ,É?p4-x;^3ûfy. (/)

Pour chasser d'abord de l'intégrale M la différentielle dz^ on remarque que cette différentielle est prise en supposant constantes les deux coordonnées x^j^ et par conséquent dx=Oj dj'==o^ ou bien

ç,fl&t+ç,rfp + <p3rfy=o,

On tire de ces deux équations les valeurs de e/a, e/p, et

en les substituant dans l'équation ,(;'), on a

dz= — s i 'dy^

CD posant, pour abréger, £n conséquence y il vient

Mais la coordonnée y doit être traitée comme une constante dans les intégrations relatives à / et à .r, ce qui réduit les équations (g) et i^h) aux équations (e) et (/*) du n° 357; et l'on a, par ce qui a été démontré dans ce n%

donc

et

Y=jOfed(xd^dy.

Le polynôme 6, par la symétrie de sa composition, ne pourrait que changer de signe, si l'on opérait dans un ordre différent l'élimination des différentielles <3te,â^,flfe; mais d'ailleurs le signe de 0 est indifférent, et l'on ne (loit avoir égard qu'à la valeur numérique de ce facteur,

puisque l'intégrale V mesure un volume, qui mesure à son tour 1 étendue de l'intégrale triple M.

Si l'on prend

a=r, P=9, y==4/, ^=;rsin6cos^, j=rsinôsin •];, z:=rcosôî il viendra

<p, =sin6cos^|^, 9,=rcos6cos4/, ?3= — rsinOsinij^, ^j;, ==sinôsin^|^, ij;, = rcos6sin ^, ^3 =/'sin8cOs^, xJ,=cos6, xS^==i — rsin6, %S^==so'^

d'où 0 = r^sin 6, ainsi qu'on l'a trouvé directement^ par la construction géométrique.

365. La théorie des intégrales doubles et triples peut sans difficulté se généraliser et s'étendre aux intégrales quadruples, quintuples, etc. On comprend que les questions de physique mathématique doivent souvent conduire à des intégrales plus élevées , quant au degré de multiplicité , que les intégrales triples. Par exemple, si l'action F du corps M sur le corps M' est la somme des actions que chaque élément de M exerce sur chaque élément de M% on a, en désignant p^r J'(xjj',z\x'^,z!) l'intensité de l'action qu'exerce l'élément m du corps M, dont les coordonnées sont .a?,^, z, sur l'élément m' du corps M', dont les coordonnées sont x\y,z\

F ====Mj!/'fi^yXy^l^'yy^')^dxd^da:'dydz'; c'est-à-dire que la valeur de F dépend essentiellement d'une intégrale sextuple, laquelle peut néanmoins, dans certains cas, par un choix convenable de coordonnées, être ramenée à dépendre d'intégrales d'un degré de multiplicité moins élevé.

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